葉狀結構

微分幾何中，葉狀結構（foliation）是n-流形上的等價關係，等價類是連通單射浸入子流形，都具有相同維度p，以實坐標空間$\mathbb {R} ^{n}$的分解為標準嵌入子空間$\mathbb {R} ^{p}$的陪集$x+\mathbb {R} ^{p}$為模型。等價類稱作葉狀結構的葉（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（$C^{r}$類的）分段線性、微分或解析結構，就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的$C^{r}$類微分葉狀結構中，通常r ≥ 1（否則$C^{0}$就是拓撲葉狀結構）。p（葉的維度）稱作葉狀結構的維度，$q=n-p$稱作其余維數。

里布葉狀結構的2維截面

里布葉狀結構的3維模型

在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中，「葉狀結構」用於描述：相關的洛倫茲流形（(p+1)維時空）分解為p維超平面，指定為梯度處處不為零的實值光滑函數（標量場）的水平集；這光滑函數通常被假定為時間函數，梯度處處類時間，因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致，這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。注意，雖然這情形確實構成標準數學意義上的余維-1葉狀結構，但這類例子是全局平凡的。雖然（數學）余維-1葉狀結構的葉局部上總是函數的水平集，但一般不能在全局這樣表達，因為葉可能無限多次通過局部平凡化坐標圖，葉周圍的完整也可能阻礙葉的全局一致定義函數的存在。例如，雖然3-球面有一個由里布發現的余維1-葉狀結構，但閉流形的余維-1葉狀結構不能由光滑函數的水平集給出，因為閉流形上的光滑函數必然在最值點有臨界點。

葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上，這些條紋給了流形一個局部乘積結構，不需在局部區域之外一致（不用有良定義的整體結構）：沿着一個條紋走足夠遠，可能回到不同的鄰近的條紋。

葉狀圖與圖冊

為給葉狀結構下精確定義，需先定義一些輔助元素。

3維葉狀圖（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是2維的，橫截（transversal）是1維的。

$\mathbb {R} ^{n}$中的矩鄰域是形式為$B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$的開子集，其中$J_{i}$是第i個坐標軸上（可能無界）的相對開區間。若$J_{1}$具有形式$(a,\ 0]$，則稱B具有邊界

$\partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.$

在下面的定義中，坐標圖（coordinate chart）被認為是在$\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}$，允許流形具有邊界和（凸）角的可能。

n-流形M上余維為q的葉狀圖（foliated chart）是$(U,\ \varphi )$，其中$U\subset M$是開集，$\varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }$是微分同胚，$B_{\pitchfork }$是$\mathbb {R} ^{q}$中的矩鄰域，$B_{\tau }$是$\mathbb {R} ^{p}$中的矩鄰域。集合$P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})$，其中$y\in B_{\pitchfork }$稱作這葉狀圖的斑（plaque）。$\forall x\in B_{\tau }$，集合$S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })$稱作葉狀圖的橫截（transversal）。集合$\partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))$稱作U的切邊界（tangential boundary），$\partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })$稱作U的橫截邊界（transverse boundary）。

葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型，斑就是葉。$B_{\tau }$表示「B-切」，$B_{\pitchfork }$表示「B-截」。還有多種可能。若$B_{\pitchfork },\ B_{\tau }$都有空邊界，則葉狀圖就建模了無界n-流形的余維-q葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界，則葉狀圖建模了有界無角n-流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說，若$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }$，則$\partial U=\partial _{\tau }U$是斑之並，斑表示的葉狀結構切於邊界。若$\partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }$，則$\partial U=\partial _{\pitchfork }U$是橫截之並，葉狀結構橫截於邊界。最後，若$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }$，則建模了葉狀流形（foliated manifold），角分開了切邊界與橫截邊界。

(a) 與邊界相切的葉狀結構$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }$； (b) 與邊界相截的葉狀結構$\partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }$； (c) 角將切邊界與橫截邊界隔開的葉狀結構$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }$。

n-流形M上余維為q的$C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )$類葉狀圖冊（foliated atlas）是余維為q的葉狀圖的$C^{r}$-圖冊${\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}$，只要P、Q在${\mathcal {U}}$的不同圖中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是開的，它們就是相干葉狀結構（coherently foliated）。

重新表述相干葉狀圖的有效方法是將$w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$寫作：

$\varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },$

$\varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.$

$(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })$常寫作$(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })$，其中

$x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),$

$y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).$

在$\varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$上，坐標公式可改寫為

$g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).$

$U_{\alpha }$的每個斑都會遇到$U_{\beta }$的2個斑。

$(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })$是相干葉狀結構這一條件意味着，若$P\subset U_{\alpha }$是斑，則$P\cap U_{\beta }$的連通分量位於$U_{\beta }$的（可能不同的）斑中。等價地，由於$U_{\alpha },\ U_{\beta }$的斑分別是橫坐標$y_{\alpha },\ y_{\beta }$的水平集，$\forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$都有鄰域，其中公式

$y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })$

與$x_{\beta }$無關。

葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連接起來，形成葉狀結構；上述一般定義顯得有點笨拙，一個問題是，$(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })$的斑可以與多個$(U_{\beta },\ \varphi _{\beta })$的斑相遇。甚至可能出現，一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過，如下所示，假設情形更規則，也不失一般性。

若${\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}$是葉狀$C^{r}$圖冊，則M上兩具有相同餘維和光滑度的$C^{r}$類葉狀圖冊${\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}$是相干的：$\left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)$。葉狀圖冊的相干是等價關係。

證明

自反關係和對稱關係是直接的。要證傳遞關係，令${\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}$ and ${\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}$。令$(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W_{\lambda },\ x_{\lambda },\ y_{\lambda })\in {\mathcal {W}}$，並假設有點$w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }$。擇$(V_{\delta },\ x_{\delta },\ y_{\delta })\in {\mathcal {V}}$，使得$w\in V_{\delta }$。根據上述說明，w有屬於$U_{\alpha }\cap V_{\delta }\cap W_{\lambda }$的鄰域，使得 $y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),$ $y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),$ 由此 $y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).$ 由於$w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }$是任意的，可以總結$y_{\alpha }(x_{\lambda },\ y_{\lambda })$局部依賴於$x_{\lambda }$。於是可以證明${\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}$，因為相干是可傳遞的。

規則葉狀圖冊中的圖。

上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過，我們也可以談論閉的斑與橫截：若$(U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )$都是葉狀圖，使得${\overline {U}}$（U的閉包）是W的子集，$\varphi =\psi |U$；則，若$\varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },$可知$\psi |{\overline {U}}$，寫作${\overline {\varphi }}$，將${\overline {U}}$微分同胚地帶到${\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.$

符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的（regular）：

1. $\forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }$是葉狀圖$(W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })$的緊子集，且$\varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }$；
2. 覆蓋$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$是局部有限的；
3. 若$(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })$都是葉狀圖冊的元素，則每個閉斑$P\subset {\overline {U}}_{\alpha }$的內部與最多與${\overline {U}}_{\beta }$中的1個斑相遇。

根據性質 (1)，坐標$x_{\alpha },\ y_{\alpha }$延伸到${\overline {U}}_{\alpha }$上的坐標${\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }$，可以寫成${\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).$性質 (3)等價於要求：若$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$，橫坐標變化${\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)$獨立於${\overline {x}}_{\beta }.$即

${\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)$

有公式

${\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).$

類似論斷也適於開圖（無覆蓋線）。橫坐標映射$y_{\alpha }$可視作浸沒

$y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}$

公式$y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })$可視作微分同胚

$\gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).$

它們滿足上循環條件，即，在$y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })$上，

$\gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }$

尤其是，

$\gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),$

$\gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.$

用上述關於相干性和規則性的定義，可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化。

證明

固定M上的一個度量核一個葉狀圖冊${\mathcal {W}}.$傳遞到子覆蓋，如有必要，可假設${\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}$有限。令ε > 0是${\mathcal {W}}$的勒貝格數，即直徑< ε的$\forall \subset X\subseteq M$都完全位於某個$W_{j}$中。$\forall x\in M$，擇j使得$x\in W_{j}$、擇葉狀圖$(U_{x},\ \varphi _{x})$使得 $x\in U_{x}\subseteq {\overline {U}}_{x}\subset W_{j},$ $\varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x},$ ${\rm {diam}}(U_{x})<\varepsilon /2.$ 設$U_{x}\subset W_{k}\ (k\neq j)$，並照常記$\psi _{k}=(x_{k},\ y_{k})\ (y_{k}:\ W_{k}\to \mathbb {R} ^{q})$是橫坐標映射。這是浸沒，以$W_{k}$中的斑為水平集。因此，$y_{k}$限制到浸沒$y_{k}:\ U_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.$ 這在$x_{j}$中是局部為常的；因此，若有必要可以選擇較小的$U_{x}$，假定$y_{k}|{\overline {U}}_{x}$以${\overline {U}}_{x}$的斑為水平集。即，$W_{k}$的斑最多與${\overline {U}}_{x}$的一個（緊）斑相遇（因此包含）。由於1 < k < l < ∞，可以擇$U_{x}$，使得只要$U_{x}\subset W_{k}$，${\overline {U}}_{x}$的不同斑就位於$W_{k}$的不同斑中。傳遞到$\{(U_{x},\ \varphi _{x})|x\in M\}$的有限子圖冊${\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}$。若$U_{i}\cap U_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U_{i}\cup U_{j})<\varepsilon$，於是存在索引k使得${\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}$。${\overline {U}}_{i}$的不同斑（分別是${\overline {U}}_{j}$的不同斑）位於$W_{k}$的不同斑中。因此${\overline {U}}_{i}$的每個斑內部最多與${\overline {U}}_{j}$的一個斑相交，反之亦然。根據構造，${\mathcal {U}}$是${\mathcal {W}}$的相干細化，是規則葉狀圖冊。 若M非緊，局部緊性和第二可數性允許我們選擇緊子集序列$\left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }$，使得$\forall i\geq 0,\ M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i},\ K_{i}\subset {\rm {int}}K_{i+1}$。傳遞到子圖集，假定${\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }$可數，且可找到嚴格遞增正整數列$\left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }$使${\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}$是$K_{l}$的覆蓋。令$\delta _{l}$表示$K_{l}$到$\partial K_{l+1}$的距離，並擇$\varepsilon _{l}>0$，小到對於$l\geq 1,\ \varepsilon _{0}<\delta _{0}/2$，都有$\varepsilon _{l}<{\rm {min}}\{\delta _{l}/2,\ \varepsilon _{l-1}\}$（$\varepsilon _{l}$是${\mathcal {W}}_{l}$（作為$K_{l}$的開覆蓋）與${\mathcal {W}}_{l+1}$（作為$K_{l+1}$的開覆蓋）的勒貝格數）。更確切地說，若$X\subset M$與$L_{l}$相遇（或$K_{l+1}$），且${\rm {diam}}X<\varepsilon _{l}$，則X位於${\mathcal {W}}_{l}$的某個元素中（或${\mathcal {W}}_{l+1}$）。$\forall x\in K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}$，與緊情形一樣構造$(U_{x},\ \varphi _{x})$，要求${\overline {U}}_{x}$是$W_{j}$的緊子集，且$\forall j\leq n_{l},\ \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x}$。同時，要求${\rm {diam}}{\overline {U}}_{x}<\varepsilon _{l}/2$。和之前一樣，傳遞到$K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}$的有限子覆蓋$\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}$（此處取$n_{-1}=0$。）這樣就創造了規則葉狀圖冊${\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$，細化了${\mathcal {W}}$並與${\mathcal {W}}$相干。

葉狀結構的定義

根據實現葉狀結構的方式，有幾種不同的定義。最常見方式是通過流形分解，得到

通過坐標函數$x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}$分解

定義 n維流形M的p-維$C^{r}$類葉狀結構是將M分解為不交連通子流形$\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$的並，稱作葉狀結構的葉（leaf），具有如下性質：M的點都有鄰域U和局部$C^{r}$類坐標系$x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}$，使得對每片葉$L_{\alpha }$，$U\cap L_{\alpha }$的組分都由方程組$x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}$描述。則，葉狀結構記作${\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$

葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義，n維流形M的p維葉狀結構${\mathcal {F}}$也許可簡單視作M的逐對不交、連通浸沒的p維子流形（葉狀結構的葉）的集合$\{M_{a}\}$，使得對點$\forall x\in M$，都有圖$(U,\varphi )$，其中U同胚於$\mathbb {R} ^{n}$，包含的x使得對每片葉$M_{a}$，與U相遇或為空集或為子空間的可數集，其在$\varphi (M_{a}\cap U)$中$\varphi$的像下是前n-p個坐標為常數的p維仿射子空間。

葉狀結構局部上都是浸沒，允許下列定義

定義 令M、Q是n維流形，q≤n，並令$f:\ M\to Q$是浸沒，即假設函數微分矩陣（雅可比矩陣）的秩為q，則據隱函數定理，ƒ在M上誘導了余維為q的葉狀結構，其中的葉定義為$x\in Q,\ f^{-1}(x).$

這定義描述了n維流形M的p維葉狀結構${\mathcal {F}}$，是由圖（chart）$U_{i}$與下列映射覆蓋的：

$\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$

這樣，對重疊對$U_{i},\ U_{j}$，轉移函數$\varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$定義為

$\varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}$

形式為

$\varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))$

其中x表示前$q=n-p$個坐標，y表示後p個坐標（co-ordinates），即

${\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}$

將轉移函數$\varphi _{ij}$拆分為$\varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)$，作為浸沒的一部分完全類似於將${\overline {g}}_{\alpha \beta }$拆分為${\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)$，作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此，必須首先證明，余維度為q的規則葉狀圖冊都與唯一的余維度為q的葉狀結構${\mathcal {F}}$相關聯。

證明

令${\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$是余維為q的規則葉狀圖冊。在M上定義等價關係：x ~ y，當且僅當$\exists {\mathcal {U}}$-斑$P_{0}$使得$x,\ y\in P_{0}$，或有${\mathcal {U}}$-斑的序列$L=\{P_{0},\ P_{1},\ \dots ,\ P_{p}\}$使得$x\in P_{0},\ y\in P_{p},\ P_{i}\cap P_{i-1}\neq \varnothing \ (1\leq i\leq p)$成立。稱序列L為連接x、y的長p的斑鏈。$x,\ y\in P_{0}$時，可以說$\{P_{0}\}$是連接x、y的長度為0的斑鏈。~是等價關係，這很清楚；同樣明顯的是，等價類L都是斑的並。由於${\mathcal {U}}$-斑只能在彼此的開子集中相互重疊，所以L在局部是維度為n-q的拓撲浸入（immerse）子流形。斑$P\subset L$的開子集在L上構成了n-q維的局部歐氏拓撲的基，L在這拓撲中顯然是連通的。要檢驗L是否為豪斯多夫空間也是平凡的，主要問題是要證明L第二可數。由於斑都是第二可數的，所以對L只需證L中${\mathcal {U}}$-斑集最多為可數無窮。固定一個這樣的斑$P_{0}$，根據規則葉狀圖冊的定義，其只與有限多個其他斑相遇。即，只有有限多長1的斑鏈$\{P_{0},\ P_{i}\}$。歸納始於$P_{0}$的p長斑鏈，同樣可證明長度≤ p的斑鏈只有有限多條。根據~的定義，L中所有${\mathcal {U}}$-斑都可通過始於$P_{0}$的有限斑鏈抵達，因此可得上述論斷。

正如證明所示，葉狀結構的葉是長度 ≤ p的斑鏈的等價類，也是拓撲浸入豪斯多夫p維子流形。接着，我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示，即它們與葉狀結構的聯繫。更具體地說，若${\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}$是M上的葉狀圖冊、且若${\mathcal {U}}$與葉狀結構${\mathcal {F}}$相關聯，則當且僅當${\mathcal {V}}$也與${\mathcal {F}}$相關聯時，${\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}$相干。

證明

若${\mathcal {V}}$也與${\mathcal {F}}$相關聯，則每片葉L都是${\mathcal {V}}$-斑與${\mathcal {U}}$-斑的並。這些斑在L的流形拓撲中是開子集，因此交於彼此的開子集。由於斑是連通的，所以不在同一片葉的${\mathcal {U}}$-斑不能交${\mathcal {V}}$-斑；因此葉狀圖冊是相干的。反之，若只知道${\mathcal {U}}$與${\mathcal {F}}$相關聯、${\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}$，令Q是${\mathcal {V}}$-斑。若L是${\mathcal {F}}$的葉，且$w\in L\cap Q\ (w\in P)$，令$P\in L$是${\mathcal {U}}$-斑，則$P\cap Q$是w在Q中的開鄰域，且$P\cap Q\subset L\cap Q$。由於$w\in L\cap Q$是任意的，可知$L\cap Q$是開的；由於L也是任意的葉，所以Q可分解為不交的開子集，每個都是Q與${\mathcal {F}}$中某葉的交。又由於Q連通，$L\cap Q=Q.$最後，Q也是任意的${\mathcal {V}}$-斑，所以${\mathcal {V}}$與${\mathcal {F}}$相關聯。

現在很明顯，M上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了M的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應，換句話說，M上余維為q的$C^{r}$類葉狀結構${\mathcal {F}}$是余維為q的$C^{r}$類葉狀圖冊的相干類。據佐恩引理，葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是，

定義 M上余維為q的$C^{r}$類葉狀結構是M上余維為q的最大葉狀$C^{r}$-圖冊。

實踐中，通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構，通常還要求是規則的。

在圖$U_{i}$中，條紋$x={\text{常数}}$與別的圖$U_{j}$上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形，就是葉狀結構的葉（leaf）。 若縮小圖$U_{i}$，可以寫成$U_{ix}\times U_{iy}$，其中$U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy$與斑同構，$U_{ix}$的點參數化了$U_{i}$中的斑。若擇$y_{0}\in U_{iy}$，則$U_{ix}\times \{y_{0}\}$是$U_{i}$的子流形，與每個斑恰交一次，這叫做葉狀結構的局部橫截面。注意，由於單值性的原因，全局橫截面可能不存在。

r = 0的情形比較特殊。實踐中出現的$C^{0}$葉狀結構通常是「光滑葉」。更確切地說，是以下意義的$C^{r,\ 0}$類：

定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊$\{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$，使得坐標變換式

$g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).$

屬於$C^{k}$類，但$x_{\alpha }$在坐標$x_{\beta }$中是$C^{r}$類，其階數≤ r、與$x_{\beta }$的混合偏導數在坐標$(x_{\beta },\ y_{\beta }$中是$C^{k}$類，則稱葉狀結構${\mathcal {F}}$屬於$C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)$類。

上述定義是所謂「葉狀空間」的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為$\mathbb {R} ^{q}$的相對緊開子集，允許橫坐標$y_{\alpha }$在更一般的拓撲空間Z中取值。斑仍是$\mathbb {R} ^{q}$的相對緊開子集，橫坐標公式$y_{\alpha }(y_{\beta })$的變化是連續的，$x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })$在坐標$x_{\beta }$中屬於$C^{r}$類，其階數 ≤ r 、與$x_{\beta }$的混合偏導數在坐標$(x_{\beta },\ y_{\beta })$中連續。一般要求M、Z為局部緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣，但在一些情形下很有用。

完整性

令$(M,\ {\mathcal {F}})$是葉狀流形（foliated manifold）。設L是${\mathcal {F}}$的葉，s是L中的路徑，我們感興趣的是M中s的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說，在葉上可以沿路徑s行走，同時關注附近所有葉。在他（以下寫作s(t)）行走時，一些葉可能會「掉落」、變得不可見；另一些可能會突然進入可視範圍，漸漸接近L；還有些可能會以接近平行的方式跟隨L，或垂直地打轉之類。若s是環路，則隨着t增大，s(t)會反覆回到同一個點s(t₀)，每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化，叫做葉狀結構的完整性（holonomy）。

完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式：葉狀叢（foliated bundle）的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。

葉狀叢

最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性，這是龐加萊映射概念的推廣。

橫截面（cross section）N與第一回歸映射（first return map）f，其中$M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.$

「第一回歸映射」來自動力系統理論。令$\Phi _{t}$是緊n-流形上的非奇異$C^{r}\ (r\geq 1)$流。應用中，可以想象M是個回旋加速器或流體的閉合迴路。若M有界，則假定流與界相切。流生成了1維葉狀結構${\mathcal {F}}$。若知道流的正方向，但不知道其他參數（軌跡形狀、速度等），則稱底葉狀結構（underlying foliation）${\mathcal {F}}$有向。假設流有全局橫截面N，即N是M的n-1維緊正合嵌入的$C^{r}$子流形，葉狀結構${\mathcal {F}}$垂直於N，每條流線都與N相遇。由於N的維度與葉的維度是互補的，橫截性條件是

$T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.$

令$y\in N$，考慮M中所有序列$\left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }$的所有堆積點的ω-極限集合ω(y)，其中$t_{k}$為無窮大。可以證明，ω(y)是緊非空的，是流線的並。若$z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),$則有值$t^{*}\in \mathbb {R}$使得$\Phi _{t^{*}}(z)\in N$，由此可得

$\lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.$

由於N是緊的，${\mathcal {F}}$橫截於N，因此集合$\{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}$是單調遞增序列$\{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }$，並發散。

當$y\in N$變化，令$\tau (y)=\tau _{1}(y)$，這樣定義一個正函數$\tau \in C^{r}(N)$（第一回歸時間），使得$\forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.$

定義$f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).$這是$C^{r}$映射。若流反向，則完全相同的構造會得到逆的$f^{-1}$；所以$f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)$。這個微分同胚是第一回歸映射，τ稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的參數化，但f顯然只取決於有向葉狀結構${\mathcal {F}}$。可以將流$\Phi _{t}$重參數化，使其保持非奇異、是$C^{r}$類，且方向不翻轉，從而使$\tau \equiv 1.$

流有橫截面N的假設是很受限的，意味着M是$S^{1}$上纖維叢的總空間。事實上在$\mathbb {R} \times N$上，可將$\sim _{f}$定義為以下條件生成的等價關係：

$(t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).$

等價地，這是加法群Z在$\mathbb {R} \times N$上的作用的軌等價，定義如下

$\forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).$

f的映射圓柱定義為$C^{r}$流形

$M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.$

由第一回歸映射f的定義與第一回歸時間$\tau \equiv 1$的假設，可立即得出映射

$\Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.$

流的定義可誘導一個規範$C^{r}$微分同胚

$\varphi :M_{f}\rightarrow M.$

若記$M_{f}=M$，則$\mathbb {R} \times N$到R的投影誘導了$C^{r}$映射

$\pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}$

使M變為圓上纖維叢的總空間。這只是$S^{1}\times D^{2}$到$S^{1}$的投影。葉狀結構${\mathcal {F}}$橫截於這叢的纖維，限制到每片葉L的叢投影π是覆蓋映射$\pi :\ L\to S^{1}$，這就是葉狀叢（foliated bundle）。

以$x_{0}\in S^{1}$的等價類$0+\mathbb {Z}$為基點，$\pi ^{-1}(x_{0})$就是原橫截面N。對$S^{1}$上以$x_{0}$為基點的每個環路s，同倫類$[s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})$的唯一特徵是${\rm {deg}}s\in \mathbb {Z}$。環路s提升到每條流線中的一條路徑，很明顯提升$s_{y}$始於$y\in N$、終於$f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)$。微分同胚$f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)$也用$h_{s}$表示，稱作環路s的總整體性。由於只取決於[s]，因此定義了同胚

$h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),$

稱作葉狀叢的總整體同胚。

更直觀地運用纖維叢，令$(M,\ {\mathcal {F}})$是余維為q的葉狀n-流形，令$\pi :\ M\to B$是纖維叢，具有q維纖維F與連通基空間B。假設所有這些結構都屬於$C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )$類，若r = 0，B支持一個$C^{1}$結構。由於B上的最大$C^{1}$圖冊都包含$C^{\infty }$子圖冊，因此假設B如所期望那般光滑並不失一般性。最後，$\forall x\in B$，假設x有連通開鄰域$U\subseteq B$，和局部平凡化

${\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}$

其中φ是$C^{r}$微分同胚（若r = 0則是同胚），將${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$帶到積葉狀結構$\{U\times \{y\}\}_{y\in F}$。其中，${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$是葉為$L\cap \pi ^{-1}(U)$的連通組分的葉狀結構，L是${\mathcal {F}}$的葉。這是$C^{r}$類「葉狀叢」（foliated bundle）$(M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )$的一般定義。

${\mathcal {F}}$垂直於π的纖維（可以說${\mathcal {F}}$是垂直於纖維的），π到${\mathcal {F}}$的每片葉L的限制是覆蓋映射$\pi :\ L\to B$。特別是，每條纖維$F_{x}=\pi ^{-1}(x)$都與${\mathcal {F}}$的每片葉相遇。纖維是${\mathcal {F}}$的橫截，與流的橫截完全類似。

葉狀結構${\mathcal {F}}$橫截於纖維不能保證葉是B的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是$\mathbb {R} ^{2}$的一個葉狀結構橫截於纖維

$\pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,$

$\pi (x,y)=x,$

但有無限多葉缺失了y軸。在相應的圖像中，「有箭頭的」葉以及它們上面所有的葉都漸進於x = 0軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的，即當參數$x\in B$接近某個$x_{0}\in B$，一些葉「奔向無窮大」。更確切地說，可能有葉L，和一條連續路徑$s:\ [0,\ a)\to L$使得$\lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B$，但$\lim _{t\to a-}s(t)$在L的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流，某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉L可能在別處與$\pi ^{-1}(x_{0})$相遇，但不能均勻覆蓋$x_{0}$的鄰域，因此不可能是B在π下的的覆蓋空間。F是緊的時，${\mathcal {F}}$對纖維的橫截性確實保證了完備性，於是${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$是葉狀叢。

B上有圖冊${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$，包含開連通坐標圖，以及平凡化$\varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F$，將${\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })$帶到積葉狀結構。置$W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })$，並記$\varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })$，其中（濫用符號）$x_{\alpha }$表示$x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F$是將$\varphi _{\alpha }$與規範投影$U_{\alpha }\times F\to F$組合而得的浸沒。

圖冊${\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$的作用類似葉狀圖冊。$W_{\alpha }$的斑是$y_{\alpha }$的水平集，這一族斑通過$y_{\alpha }$，與F相同。由於預設了B支持某個$C^{\infty }$結構，據懷特黑德定理，可在B上固定一個黎曼度量，擇圖冊${\mathcal {U}}$為測地凸的。於是，$U_{\alpha }\cap U_{\beta }$總是連通的。若這個交非空，則$W_{\alpha }$的每個斑都正好與$W_{\beta }$的一個斑相遇。然後，通過設下式，可定義一個完整上循環（holonomy cocycle）$\gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}$ by setting

$\gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.$

例子

平坦空間

考慮n維空間，是由前n-p個坐標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖（chart）表示，其基本原理是$\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n-p}\times \mathbb {R} ^{p}$，葉或斑$\mathbb {R} ^{p}$由$\mathbb {R} ^{n-p}$枚舉。置n = 3、p = 2，可以類比三維空間：書的2維葉由（1維）頁碼枚舉。

叢

較平凡的葉狀結構例子是積$M=B\times F$，葉$F_{b}=\{b\}\times F,\ b\in B$（M的另一個葉狀結構由$B_{f}=B\times \{f\},\ f\in F$給出）。

對流形F而言，$G={\rm {Homeo}}(F)$的平坦G-叢是更一般的一類。給定表示$\rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)$，具有單值ρ的平坦${\rm {Homeo}}(F)$-叢由$M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B$給出，其中$\pi _{1}(B)$通過甲板變換作用於萬有覆蓋${\widetilde {B}}$，通過表示ρ作用於F。

平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形F使得$\forall b\in B$，都有開鄰域U使得有同胚$\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi =p_{1}\varphi ,\ p_{1}:\ U\times F\to U)$（其中p₁是到第一個因子的投影），則流形之間的映射$\pi :\ M\to B$是纖維叢。纖維叢產生了由纖維$F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B$組成的葉狀結構，其葉空間L與B同構，前者是豪斯多夫流形。

覆蓋

若$M\to N$是流形間的覆蓋映射，F是N上的葉狀結構，則其拉回到M上的葉狀結構。更一般地，若映射只是分歧覆蓋（分歧軌跡橫截於葉狀結構），則葉狀結構就可以被拉回。

浸沒

若$M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)$是流形的浸沒，則據反函數定理，浸沒的纖維的連通組分定義了M的余維為q的葉狀結構。纖維叢是這種類型的一個例子。

不是纖維叢的浸沒的一個例子是

${\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}$

這種浸沒產生了$[-1,\ 1]\times \mathbb {R}$的葉狀結構，在下列$\mathbb {Z}$作用下是不變的：

$z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)$

其中$(x,\ y)\in [-1,\ 1]\times \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z}$。$\mathbb {Z} \backslash ([-1,\ 1]\times \mathbb {R} )$的誘導葉狀結構稱作（環空的）2維里布葉狀結構，或（莫比烏斯帶的）2維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。

里布葉狀結構

定義一個潛沒

${\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}$

其中$(r,\ \theta )\in [0,\ 1]\times S^{n-1}$是n維圓盤$D^{n}$上的圓柱坐標。這浸沒產生了$D^{n}\times \mathbb {R}$的葉狀結構，在如下Z作用下是不變的：

$z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )$

$\mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )$的誘導葉狀結構被稱作n維里布葉狀結構，其葉空間不是豪斯多夫的。

對於n = 2，這給出了實心環面的葉狀結構，可由沿邊界粘合兩個實心環面，來定義3-球的里布葉狀結構。奇數維球$S^{2n+1}$的葉狀結構也是明確已知的。

李群

若G是李群、H是李子群，則G就會被H的陪集葉化。若H在G中閉合，則商空間$G/H$是光滑（豪斯多夫）流形，將G轉化為纖維叢，纖維H、基為$G/H$。這個纖維叢實際上是主的，具有結構群H。

李群作用

令G是光滑作用於流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，則G的軌道定義了M的一個葉狀結構。

線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構

若${\tilde {X}}$是非奇異（即無處為零）的向量場，則${\tilde {X}}$定義的局部流拼湊在一起，就定義了維度為1的葉狀結構。事實上，給定任一點$x\in M$，由於${\tilde {X}}$是非奇異的，所以可找到一個關於x的坐標鄰域$(U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})$，使得

$-\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,$

${\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.$

從幾何角度來看，${\tilde {X}}\mid U$的流線就是水平集

$x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,$

其中所有的$|c^{i}|<\varepsilon .$由慣例，流形是第二可數的，因此類似「長線」這樣的葉異常現象會被M本身的第二可數性排除。要求${\tilde {X}}$是完全域（例如M是緊的），從而要求每片葉都是流線，就可以避開這個難題。

$\mathbb {R} ^{2}$上的線性葉狀結構${\mathcal {\tilde {F}}}$傳遞到$T^{2}$上的葉狀結構${\mathcal {F}}$。 a) 斜率是有理的（線性葉狀結構）； b) 斜率是無理的（克羅內克葉狀結構）。

2-環面上的無理旋轉

環面$T^{2}$上的一類重要1維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。$\mathbb {R} ^{2}$上的恆向量場

${\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$

對$\mathbb {R} ^{2}$中所有平移都不變，因此當投影到環面$T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$時傳遞到良定義向量場X。假定a ≠ 0。${\tilde {X}}$產生的$\mathbb {R} ^{2}$上的葉狀結構${\mathcal {\tilde {F}}}$的葉具有斜率為$\theta =b/a$的平行線，這葉狀結構在平移下也是不變的，並傳遞到X產生的$T^{2}$上的葉狀結構${\mathcal {F}}$。

${\mathcal {\tilde {F}}}$每片葉的形式是

${\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.$

若斜率是有理的，則所有葉都是與圓同胚的閉合曲線。這時，可取$a,\ b\in \mathbb {Z}$。對固定的$t\in \mathbb {R}$，${\tilde {L}}$中與$t\in t_{0}+\mathbb {Z}$的值對應的點都投影到$T^{2}$的同一點，於是${\mathcal {F}}$對應的葉L是$T^{2}$中的嵌入圓。由於L是任意的，所以${\mathcal {F}}$是$T^{2}$對圓的葉狀結構。由此很容易得出，這個葉狀結構實際上就是纖維叢$\pi :\ T^{2}\to S^{1}$，這就是所謂線性葉狀結構。

若斜率是無理的，則葉是非緊的，同胚於非緊實線，在環面中稠密（參無理旋轉）。每個點$(x_{0},\ y_{0})$的軌跡永遠不會回到同一點，而是在環面上產生「處處稠密」的環繞，會任意接近任何給定的點。於是，軌跡的閉包是整個2維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構，得名於利奧波德·克羅內克與

克羅內克稠密性定理 若實數θ不等於π的所有有理倍數，則集合$\{e^{in\theta }|n\in \mathbb {Z} \}$在單位圓內稠密。

證明

首先注意，若${\mathcal {\tilde {F}}}$的葉${\tilde {L}}$不是一一投影到$T^{2}$，則一定有實數$t\neq 0$使得ta、tb都是整數。但這意味着$b/a\in \mathbb {Q}$。要證${\mathcal {F}}$的葉L在$T^{2}$中都稠密，只需證明$\forall v\in \mathbb {R} ^{2}$，${\mathcal {\tilde {F}}}$的每片葉${\tilde {L}}$與陪集$v+\mathbb {Z} ^{2}$中的適當點間距都是任意小的正距離。$\mathbb {R} ^{2}$中的適當平移使我們可以假設v = 0，這樣任務就簡化為證明${\tilde {L}}$任意地經過合適的點$(n,\ m)\in \mathbb {Z} ^{2}$。線${\tilde {L}}$具有斜截式 $y=\theta x+c.$ 因此，對於任意$\eta >0$，只要找到整數n、m使得 $|\theta n+c-m|<\eta .$ 等價地，$c\in \mathbb {R}$是任意的，就可以證明集合$\{\theta n-m\}_{m,\ n\in \mathbb {Z} }$在R中稠密。這實質上就是歐多克索斯關於θ與1不可通約（即θ無理）的標準。

用平行線對$\mathbb {R} ^{n}$進行葉狀結構的類似構造，可得與環面上的線性流相關的n-環面$\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$的1維葉狀結構。

緯懸葉狀結構

平坦叢不僅有對纖維的線性結構，還有橫截於纖維的葉狀結構，其葉為

$L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,$

其中$p:\ {\widetilde {B}}\times F\to M$是規範投影。這個葉狀結構稱作表示$\rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)$的緯懸。

具體地說，若$B=S^{1}$，$\varphi :F\to F$是F的同胚，則$\varphi$的緯懸葉狀結構定義為表示$\rho :\ \mathbb {Z} \to {\rm {Homeo}}(F)$的緯懸葉狀結構，由$\rho (z)=\Phi ^{z}$給出。其葉空間是$L={\mathcal {F}}/\sim$，其中只要對某個$n\in \mathbb {Z} ,\ y=\Phi ^{n}(x),\ x\sim y$。

緯懸葉狀結構最簡單的例子是q維流形X。令$f:\ X\to X$是雙射。將緯懸$M=S^{1}\times _{f}X$定義為$[0,\ 1]\times X$對等價關係$(1,\ x)\sim (0,\ f(x))$的商。

$M=S^{1}\times _{f}X=[0,\ 1]\times X$

則，M自動攜帶兩個葉狀結構：${\mathcal {F}}_{2}$包含$F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim }:\ x\in X\}$形式的集合；${\mathcal {F}}_{1}$包含$F_{2,\ x_{0}}=\{(t,\ x):\ t\in [0,\ 1],\ x\in O_{x_{0}}\}$形式的集合，其中軌道$O_{x_{0}}$定義為

$O_{x_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}$

其中指數指的是函數f與自身複合的次數。注意$O_{x_{0}}=O_{f(x_{0})}=O_{f^{-2}(x_{0})},\ {\rm {etc.}}$，對$F_{1,\ x_{0}}$也同樣。理解葉狀結構${\mathcal {F}}_{1}$等效於理解映射f的動力學。若流形X已經葉化，則只要f是葉間映射，就可以利用這構造增加葉狀結構的余維數。

2-環面的克羅內克葉狀結構是旋轉$R_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}$（角度為$\alpha \in [0,\ 2\pi )$）的緯懸葉狀結構。

切割重粘後，2-洞環面的緯懸。 a) 帶待切割截面的雙洞環面； b) 切割後帶有4個面的幾何圖形。

更具體地說，若$\Sigma =\Sigma _{2}$是2洞環面，$C^{1},\ C^{2}\in \Sigma$是兩個嵌入圓，則${\mathcal {F}}$是葉$\Sigma \times \{y\},\ y\in S^{1}$的3-流形的積葉狀結構$M=\Sigma \times S^{1}$。注意$N_{i}=C_{i}\times S^{1}$是嵌入環，${\mathcal {F}}$橫截於$N_{i},\ i=1,\ 2$。令${\rm {Diff}}_{+}(S^{1})$表示$S^{1}$的保向微分同胚群，並擇$f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})$。將M沿$N_{1},\ N_{2}$切開，$N_{i}^{+},\ N_{i}^{-}$表示它們的副本。這時，流形$M'=\Sigma '\times S_{1}$有4個邊界分量$\left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.$葉狀結構${\mathcal {F}}$橫截邊界$\partial M'$的葉狀結構${\mathcal {F^{\prime }}}$，葉的形式為$\Sigma '\times \{y\},\ y\in S^{1}$。

這片葉在4個圓$C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }$中與$\partial M'$相遇。若$z\in C_{i}$，則$C_{i}^{\pm }$中的對應點記作$z^{\pm }$，$N_{i}^{-}$通過下列標識，「回到」$N_{i}^{+}$：

$(z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.$

由於$f_{1},\ f_{2}$是$S^{1}$的保向微分同胚，因此與恆同（identity）同痕，由這操作得到的流形同胚於M。${\mathcal {F^{\prime }}}$的葉則重新組合，產生M新的葉狀結構${\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})$。若${\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})$的葉L 包含一片$\Sigma '\times \{y_{0}\}$，則

$L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},$

其中$G\subset {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})$是由$\{f_{1},\ f_{2}\}$生成的子群。這些Σ'的副本通過標識彼此相連：

$\forall z\in C_{1},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{1}(g(y_{0})))$

$\forall z\in C_{2},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{2}(g(y_{0})))$

其中g在G上取值。葉完全由$y_{0}\in S^{1}$的G-軌道決定，可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的G-軌道有限，則葉就是緊的。舉個極端的例子，若G是平凡的$(f_{1}=f_{2}={\rm {id}}_{S^{1}})$，則${\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})={\mathcal {F}}$。若軌道在$S^{1}$中是稠密的，則對應的葉在M中也稠密。例如，若$f_{1},\ f_{2}$是2π的有理獨立倍的旋轉，則每片葉都是稠密的。其他例子中，某些葉L的閉包${\bar {L}}$與每個因子$\{w\}\times S^{1}$在康托爾集中相遇。在$\Sigma \times I$上也可做類似構造，其中I是緊非退化區間。這裡，取$f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(I)$，由於$\partial I$通過所有保向微分同胚逐點固定了，所以可得一個以$\partial M$的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成M' ，就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形，這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸，提供了余維為1的葉狀結構的有趣例子。

葉狀結構與可積性

假設一切都光滑，那麼向量場之間有一種密切關係：給定M上不為零的向量場X，其積分曲線將給出1維葉狀結構（即余維為n-1的葉狀結構）。

這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理，即分布（流形切叢的n − p維子叢）與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是，與分布相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為，將切叢的結構群從${\rm {GL}}(n)$約化為可約群。

弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現，並斷言若滿足條件，就能約化，因為具有所需塊結構的局部轉移函數存在。例如，對某（非規範）$\alpha \in \Omega ^{1}$（即非零餘向量場），余維為1時可定義葉狀結構的切叢為${\rm {ker}}(\alpha )$。若處處都有$\alpha \wedge {\rm {d}}\alpha =0$，則給定的α可積。

由於存在拓撲約束，因此存在全局葉狀結構理論。例如，曲面情形中，處處非零向量場只能存在於環面的有向緊曲面上。這是龐加萊-霍普夫定理的結果，指出歐拉示性數需為0。其與切觸幾何有很多深層聯繫，專門研究不可積情形。

葉狀結構的存在

Haefliger (1970)給出連通非緊流形上的分布與可積分布同倫的充分必要條件。Thurston （1974, 1976）證明，任意有分布的緊流形都有同維度的葉狀結構。

參看

• 弗羅貝尼烏斯定理
• G結構
• 用葉狀結構分類空間
• 里布葉狀結構
• 緊葉狀結構(Taut foliation)

參考文獻

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• Thurston, William P., Existence of codimension-one foliations, Annals of Mathematics, Second Series, 1976, 104 (2): 249–268, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971047, MR 0425985, doi:10.2307/1971047 

外部連結

• Foliations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the Manifold Atlas