同構

同構（英語：Isomorphism）是一種線性變換，當T:V → W 是可逆時，這種線性變換就稱之為同構。

5次單位根的群和五邊形的對稱群是同構的。

在抽象代數中，同構指的是一個保持結構的雙射。在更一般的範疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的複合是一個恆等態射。

正式的表述是：同構是在數學對象之間定義的一類映射，它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射，那麼這兩個結構叫做是同構的。一般來說，如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義，單從結構上講，同構的對象是完全等價的，也就是說，如果我們定義一個關係∼ ，使得只要V和W同構，那麼 V ∼ W ,可知 ∼ 是一個等價關係。

舉例

• 等距同構是度量空間的同構
• 同胚是拓撲空間的同構
• 微分同胚是微分流形的同構
• 群同構
• 環同態
• 置換是集合的同構

對數和指數函數

對數$\log :R^{+}\to R$

$\log(xy)=\log(x)+\log(y)$

指數函數

$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$

複數及其共軛函數

$\sigma :C\to C$

$\sigma (z):x-iy$

模算數

$\mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$

因為中國剩餘定理，若m, n是互質的，則

$\mathbb {Z} _{mn}\cong \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$

引入同構的目的

在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論應用於不同的領域。如果兩個結構是同構的，那麼其上的對象會有相似的屬性和操作，對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此，如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構於某個結構，且對於該結構已經證明了很多定理，那麼這些定理馬上就可以應用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構，那麼這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該對象結構變得容易，並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。

相關條目

• 中國剩餘定理
• 範疇論

延伸閱讀

• Mazur, Barry, When is one thing equal to some other thing? (PDF), 12 June 2007 [2019-04-01], （原始內容存檔 (PDF)於2019-10-24） 

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Isomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Isomorphism. PlanetMath. 
• 埃里克·韋斯坦因. Isomorphism. MathWorld.