哈爾小波轉換 （英語：Haar wavelet 哈爾·阿爾弗雷德 於1909年所提出的函數變換 小波轉換 中最簡單的一種轉換，也是最早提出的小波轉換。他是多貝西小波 的於N=2的特例，可稱之為D2或db1。
哈爾小波 的母小波（mother wavelet）可表示為：
ψ
(
t
)
=
{
1
0
≤
t
<
1
/
2
,
−
1
1
/
2
≤
t
<
1
,
0
otherwise.
{\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
對應的尺度函數（scaling function）可表示為：
ϕ
(
t
)
=
{
1
0
≤
t
<
1
,
0
otherwise.
{\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
其濾波器（filter）
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
h
[
n
]
=
{
1
2
if n = 0,1
0
otherwise
{\displaystyle h[n]={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\mbox{if n = 0,1}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
n
=
0
,
1
{\displaystyle n=0,1}
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
1
2
ψ
(
(
t
2
)
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
1
−
n
h
[
1
−
n
]
ϕ
(
t
−
n
)
=
1
2
(
ϕ
(
t
−
1
)
−
ϕ
(
t
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi (\left({\frac {t}{2}}\right))&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{1-n}h[1-n]\phi (t-n)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\phi (t-1)-\phi (t))\\\end{aligned}}}
在所有正交（orthonormal）小波轉換中，哈爾小波轉換是最簡單的一種轉換，但它並不適合用於較為平滑的函數，因為它只有一個消失矩（Vanishing Moment）。
參與變換的小波函數（wavelet function）也叫母小波（mother wavelet）。
小波母函數可以用尺度函數表示：
ψ
(
t
)
=
ϕ
(
2
t
)
−
ϕ
(
2
t
−
1
)
{\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)}
對小波的母函數可以進行伸縮和平移，例如
ψ
(
2
t
)
{\displaystyle \psi (2t)}
ψ
(
2
m
t
−
n
)
{\displaystyle \psi (2^{m}t-n)}
當尺度離散方式選取
a
=
2
j
,
j
∈
Z
+
{\displaystyle a=2^{j},j\in \mathbb {Z^{+}} }
[ 1]
（1）不同尺度的小波函數相互正交（即
<
ψ
(
t
)
,
ψ
(
2
−
j
(
t
)
)
>=
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
2
−
j
(
t
)
)
d
t
=
0
(
∀
j
≠
0
)
{\displaystyle <\psi (t),\psi (2^{-j}(t))>=\int \psi (t)\psi (2^{-j}(t))\,dt=0(\forall j\neq 0)}
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
2
t
)
d
t
=
∫
0
1
/
2
ψ
(
2
t
)
d
t
−
∫
1
/
2
1
ψ
(
2
t
)
d
t
=
τ
=
2
t
∫
0
1
ψ
(
τ
)
2
d
τ
−
∫
1
2
ψ
(
τ
)
2
d
τ
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \psi (t)\psi (2t)\,dt&=\int _{0}^{1/2}\psi (2t)\,dt-\int _{1/2}^{1}\psi (2t)\,dt\\&{\stackrel {\tau =2t}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\psi (\tau )}{2}}\,d\tau -\int _{1}^{2}{\frac {\psi (\tau )}{2}}\,d\tau \\&=0\end{aligned}}}
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
4
t
)
d
t
=
0
{\displaystyle \int \psi (t)\psi (4t)\,dt=0}
∫
ψ
(
2
j
1
t
)
ψ
(
2
j
2
t
)
d
t
=
0
(
∀
j
1
≠
j
2
)
{\displaystyle \int \psi (2^{j_{1}}t)\psi (2^{j_{2}}t)\,dt=0(\forall j_{1}\neq j_{2})}
（2）同一尺度及不同尺度下，小波函數的整數位移之間相互正交（即
<
ψ
(
t
)
,
ψ
(
t
−
k
)
>=
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
t
−
k
)
d
t
=
0
(
∀
k
≠
0
)
{\displaystyle <\psi (t),\psi (t-k)>=\int \psi (t)\psi (t-k)\,dt=0(\forall k\neq 0)}
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
t
−
1
)
d
t
=
0
{\displaystyle \int \psi (t)\psi (t-1)\,dt=0}
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
2
t
−
1
)
d
t
=
0
{\displaystyle \int \psi (t)\psi (2t-1)\,dt=0}
∫
ψ
(
t
)
ψ
(
2
m
t
−
1
)
d
t
=
0
{\displaystyle \int \psi (t)\psi (2^{m}t-1)\,dt=0}
尺度函數（scaling function），以下為尺度函數的簡易圖示：
(1):
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
(2):
ϕ
(
2
t
)
,
2
ϕ
(
2
t
)
=
ϕ
(
t
)
+
ψ
(
t
)
{\displaystyle \phi (2t),2\phi (2t)=\phi (t)+\psi (t)}
(3):
ψ
(
2
m
t
−
n
)
{\displaystyle \psi (2^{m}t-n)}
（1）簡單（Simple）
（2）快速算法（Fast algorithm）
（3）正交（Orthogonal）→可逆（reversible）
（4）結構緊湊（Compact），實（real），奇（odd）
（5）具有一階消失矩（Vanish moment）
哈爾小波具有如下的特性：
（1）任一函數都可以由
ϕ
(
t
)
,
ϕ
(
2
t
)
,
ϕ
(
4
t
)
,
…
,
ϕ
(
2
k
t
)
,
…
{\displaystyle \phi (t),\phi (2t),\phi (4t),\dots ,\phi (2^{k}t),\dots }
（2）任一函數都可以由常函數，
ψ
(
t
)
,
ψ
(
2
t
)
,
ψ
(
4
t
)
,
…
,
ψ
(
2
k
t
)
,
…
{\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{k}t),\dots }
（3）正交性（Orthogonal）
∫
−
∞
∞
2
m
ψ
(
2
m
1
t
−
n
1
)
ψ
(
2
m
t
−
n
)
d
t
=
δ
(
m
,
m
1
)
δ
(
n
,
n
1
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m,m_{1})\delta (n,n_{1})}
δ
(
i
,
j
)
=
{
1
i
=
j
,
0
i≠j.
{\displaystyle \delta (i,j)={\begin{cases}1&i=j,\\0&{\mbox{i≠j.}}\end{cases}}}
（4）不同寬度的（不同m）的小波函數和尺度函數之間會有一個關係
ϕ
(
t
)
=
ϕ
(
2
t
)
+
ϕ
(
2
t
−
1
)
{\displaystyle \phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)}
ϕ
(
t
−
n
)
=
ϕ
(
2
t
−
2
n
)
+
ϕ
(
2
t
−
2
n
−
1
)
{\displaystyle \phi (t-n)=\phi (2t-2n)+\phi (2t-2n-1)}
ϕ
(
2
m
t
−
n
)
=
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
)
+
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
−
1
)
{\displaystyle \phi (2^{m}t-n)=\phi (2^{m+1}t-2n)+\phi (2^{m+1}t-2n-1)}
ψ
(
t
)
=
ϕ
(
2
t
)
−
ϕ
(
2
t
−
1
)
{\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)}
ψ
(
t
−
n
)
=
ϕ
(
2
t
−
n
)
−
ϕ
(
2
t
−
2
n
−
1
)
{\displaystyle \psi (t-n)=\phi (2t-n)-\phi (2t-2n-1)}
ψ
(
2
m
t
−
n
)
=
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
n
)
−
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
−
1
)
{\displaystyle \psi (2^{m}t-n)=\phi (2^{m+1}t-n)-\phi (2^{m+1}t-2n-1)}
（5）可以用m+1的 係數來計算m的係數
若
χ
w
(
n
,
m
)
=
2
m
/
2
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
ϕ
(
2
m
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \chi _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m}t-n)\,dt}
χ
w
(
n
,
m
)
=
2
m
/
2
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
)
d
t
+
2
m
/
2
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
−
1
)
d
t
=
1
2
(
χ
w
(
2
n
,
m
+
1
)
+
χ
w
(
2
n
+
1
,
m
+
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{w}(n,m)&=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n)\,dt+2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n-1)\,dt\\&={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)+\chi _{w}(2n+1,m+1))\\\end{aligned}}}
若
X
w
(
n
,
m
)
=
2
m
/
2
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
ψ
(
2
m
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {X} _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{m}t-n)\,dt}
X
w
(
n
,
m
)
=
2
m
/
2
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
)
d
t
−
2
m
/
2
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
ϕ
(
2
m
+
1
t
−
2
n
−
1
)
d
t
=
X
w
(
n
,
m
)
=
1
2
(
χ
w
(
2
n
,
m
+
1
)
−
χ
w
(
2
n
+
1
,
m
+
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{w}(n,m)&=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n)\,dt-2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m+1}t-2n-1)\,dt\\&=\mathrm {X} _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)-\chi _{w}(2n+1,m+1))\\\end{aligned}}}
圖示如下：
上圖為哈爾小波轉換的快速演算簡易圖示，此為多重解析結構（multiresolution analysis）。
哈爾變換最早是由哈爾在1910年的論文《論正交函數系理論》（德語：Zur Theorie der Orthogonalen Funktionensysteme ）中所提出，是一種最簡單又可以反應出時變頻譜（time-variant spectrum）的表示方法。其觀念與傅里葉變換 相近。傅里葉變換的原理是利用正弦波與餘弦波來對訊號進行調變；而哈爾變換則是利用哈爾函數來對訊號進行調變。哈爾函數也含有正弦函數系和餘弦函數系所擁有的正交性，也就是說不同的哈爾函數是互相正交 的，其內積為零。
以下面的哈爾轉換矩陣為例，我們取第1行和第2行來做內積 ，得到的結果為零；取第二行和第三行來做內積，得到的結果也是零。依序下去，我們可以發現在哈爾轉換矩陣任取兩行來進行內積的運算，所得到的內積皆為零。
N
=
2
{\displaystyle N=2}
H
=
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}\ 1&1\\\ 1&-1\\\end{bmatrix}}}
N
=
4
{\displaystyle N=4}
H
=
[
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
0
0
0
0
1
−
1
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}\ 1&1&1&1\\\ 1&1&-1&-1\\\ 1&-1&0&0\\\ 0&0&1&-1\\\end{bmatrix}}}
N
=
8
{\displaystyle N=8}
H
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
−
1
−
1
1
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−
1
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0\\\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1\\\ 1&-1&0&0&0&0&0&0\\\ 0&0&1&-1&0&0&0&0\\\ 0&0&0&0&1&-1&0&0\\\ 0&0&0&0&0&0&1&-1\\\end{bmatrix}}}
在此前提下，利用傅里葉變換的觀念，假設所要分析的訊號可以使用多個頻率與位移不同的哈爾函數來組合而成。進行哈爾變換時，因為哈爾函數的正交性，便可求出訊號在不同哈爾函數（不同頻率）的情況下所占有的比例。
哈爾變換有以下幾點特性：
不需要乘法（只有相加或加減）
輸入與輸出個數相同
頻率只分為低頻（直流值）與高頻（1和-1）部分
可以分析一個訊號的局部特徵
運算速度極快，但不適合用於訊號分析
大部分運算為0，不用計算
維度小，計算時需要占用的內存空間少
因為大部分為高頻，轉換較籠統 對一矩陣
A
{\displaystyle A}
B
=
H
A
H
T
{\displaystyle B=HAH^{T}}
A
{\displaystyle A}
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
H
{\displaystyle H}
N
{\displaystyle N}
A
=
H
T
B
H
{\displaystyle A=H^{T}BH}
H
{\displaystyle H}
N
=
2
{\displaystyle N=2}
H
=
[
1
2
1
2
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
N
=
4
{\displaystyle N=4}
H
=
[
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
0
0
0
0
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}
N
=
8
{\displaystyle N=8}
H
=
[
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
−
1
8
−
1
8
−
1
8
−
1
8
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
−
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
−
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}\\{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {1}{\sqrt {8}}}&{\frac {-1}{\sqrt {8}}}&{\frac {-1}{\sqrt {8}}}&{\frac {-1}{\sqrt {8}}}&{\frac {-1}{\sqrt {8}}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}&0&0&0&0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}&0&0\\0&0&0&0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}
此外，當
N
=
2
k
{\displaystyle N=2^{k}}
H
=
[
ϕ
h
0
,
0
h
1
,
0
h
1
,
1
:
:
h
k
−
1
,
0
h
k
−
1
,
1
:
h
k
−
1
,
2
k
−
1
−
1
]
{\displaystyle H={\begin{bmatrix}\phi \\h_{0,0}\\h_{1,0}\\h_{1,1}\\:\\:\\h_{k-1,0}\\h_{k-1,1}\\:\\h_{k-1,2^{k-1}-1}\\\end{bmatrix}}}
H
{\displaystyle H}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
N
{\displaystyle {\sqrt {N}}}
2
p
+
q
{\displaystyle 2^{p}+q}
h
p
,
q
{\displaystyle h_{p,q}}
h
p
,
q
[
n
]
=
{
1
/
2
k
−
p
,
w
h
e
n
q
2
k
−
p
≤
n
<
(
q
+
1
/
2
)
2
k
−
p
−
1
/
2
k
−
p
,
w
h
e
n
(
q
+
1
/
2
)
2
k
−
p
≤
n
<
(
q
+
1
)
2
k
−
p
0
,
o
t
h
e
r
w
i
s
e
{\displaystyle h_{p,q}[n]={\begin{cases}1/{\sqrt {2^{k-p}}},\ when\ q2^{k-p}\leq n<(q+1/2)2^{k-p}\\-1/{\sqrt {2^{k-p}}},\ when\ (q+1/2)2^{k-p}\leq n<(q+1)2^{k-p}\\0,otherwise\end{cases}}}
Matlab 代碼: function [Hr]= haar_matrix ( N, normalized)
% Input :
% N : size of matrix, N must be power of 2.
% Output:
% Hr : Haar matrix of size NxN
p =[ 0 0 ];
q =[ 0 1 ];
n = nextpow2 ( N );
for i = 1 : n - 1
p =[ p i * ones ( 1 , 2 ^i )];
t = 1 :( 2 ^i );
q =[ q t ];
end
Hr = zeros ( N , N );
Hr ( 1 ,:)= 1 ;
for i = 2 : N
P = p ( 1 , i ); Q = q ( 1 , i );
for j = ( N * ( Q - 1 ) / ( 2 ^P )):( N * (( Q - 0.5 ) / ( 2 ^P )) - 1 )
Hr ( i , j + 1 )= 2 ^( P / 2 );
end
for j = ( N * (( Q - 0.5 ) / ( 2 ^P ))):( N * ( Q / ( 2 ^P )) - 1 )
Hr ( i , j + 1 )= - ( 2 ^( P / 2 ));
end
end
if normalized
Hr = Hr * ( 1 / sqrt ( N ));
end
end
Python 代碼: def haarMatrix ( n , normalized = False ):
# Allow only size n of power 2
n = 2 ** np . ceil ( np . log2 ( n ))
if n > 2 :
h = haarMatrix ( n / 2 )
else :
return np . array ([[ 1 , 1 ], [ 1 , - 1 ]])
# calculate upper haar part
h_n = np . kron ( h , [ 1 , 1 ])
# calculate lower haar part
if normalized :
h_i = np . sqrt ( n / 2 ) * np . kron ( np . eye ( len ( h )), [ 1 , - 1 ])
else :
h_i = np . kron ( np . eye ( len ( h )), [ 1 , - 1 ])
# combine parts
h = np . vstack (( h_n , h_i ))
return h
若應用於區域的頻譜分析及偵測邊緣的話，離散傅立葉變換 、Walsh-Hadamard變換 及哈爾小波轉換的計算量見下表
運行時間
為使NRMSE <
10
−
5
{\displaystyle 10^{-5}}
離散傅立葉變換
9.5秒
43
沃爾什轉換
2.2秒
65
哈爾小波轉換
0.3秒
128
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
Joseph Khoury, Application to image compression, http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/haar.htm （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）Lokenath Debnath, Wavelet Transforms and Their Application,Birkhauser, Boston,USA, 2002.
Charles K. Chui, Wavelets：A Tutorial in Theory and Applications,ACADEMIC PRESS,San Diego,USA, 1992.
Wavelets and subbands : fundamentals and applications/Agostino Abbate, Casimer M. DeCusatis, Pankaj K. Das.
^ 胡廣書. 现代信号处理教程 第二版. 北京. 2015-03. ISBN 978-7-302-38934-7OCLC 1101305618
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![{\displaystyle h[n]={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\mbox{if n = 0,1}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fe0fd25067129529ac67f766e82aee441985d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi (\left({\frac {t}{2}}\right))&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{1-n}h[1-n]\phi (t-n)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\phi (t-1)-\phi (t))\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bf4241e5fcfd77b66d7a0dbc3c809a1c2a06a3)
.png)
![{\displaystyle h_{p,q}[n]={\begin{cases}1/{\sqrt {2^{k-p}}},\ when\ q2^{k-p}\leq n<(q+1/2)2^{k-p}\\-1/{\sqrt {2^{k-p}}},\ when\ (q+1/2)2^{k-p}\leq n<(q+1)2^{k-p}\\0,otherwise\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3acd914b387d1bdccd97001fd98a42b3c4771d)
