圖同態

數學分支圖論中，圖同態（英語：graph homomorphism）是兩幅圖之間保結構的映射。具體而言，該映射將某圖的各頂點映至另一圖的頂點，且若兩頂點相鄰，則其像仍然相鄰。

同態是若干種圖着色概念的推廣，適用於表達一類重要的約束滿足問題，如排程、頻段分配（英語：frequency assignment）問題。^[1]同態可以複合，為全體圖組成的類賦予豐富的代數結構：其上的預序關係、分配格結構、範疇結構（分為無向圖範疇與有向圖範疇兩種）。^[2]欲尋找任意兩圖間的同態，而無額外條件，則現時所知的計算複雜度（英語：computational complexity）高得不切實際，但對於某些特定類別的圖，已知有多項式時間算法。此類問題易解與否，兩者的分野，是活躍的研究方向。^[3]

定義

本條目中，除非另有聲明，否則「圖」皆為有限無向圖，允許自環，但無重邊（兩點間連多於一條邊）。自 $G=(V(G),E(G))$ 至另一圖 $H=(V(H),E(H))$ 的圖同態^[4] $f$ ，記作

f:G\to H,

是頂點集 $V(G)$ 至 $V(H)$ 的函數，其將 $G$ 每條邊的兩端分別映至 $H$ 某邊的兩端。以符號表示：對 $V(G)$ 中每對頂點 $u,v$ ，若 $\{u,v\}\in E(G)$ ，則 $\{f(u),f(v)\}\in E(H)$ 。若存在 $G$ 至 $H$ 的同態，則稱 $G$ 同態於（homomorphic to） $H$ ，或可染 $H$ 色（ $H$ -colourable），常簡記為：

G\to H.

上述定義可引伸至有向圖，此時， $f:G\to H$ 為同態的條件是， $G$ 中每條有向邊 $(u,v)$ 的像 $(f(u),f(v))$ ，仍是 $H$ 的有向邊。

自 $G$ 至 $H$ 有單同態（將不同頂點映至不同頂點），當且僅當 $G$ 為 $H$ 的子圖。若同態 $f:G\to H$ 為雙射（兩圖頂點集的一一對應），且其逆 $f^{-1}$ 亦是圖同態，則 $f$ 為圖同構。^[5]

圖的覆疊映射（英語：Covering graph）是一類特殊的圖同態，相當於將圖視為拓撲空間（英語：Graph (topology)）時，拓撲學上的覆疊映射，其定義及性質亦是類似：^[6]圖覆疊是滿同態（即作為陪域的圖，其每個頂點皆為定義域某頂點的像），且局部為雙射，即若限制到每個頂點的鄰域（英語：neighbourhood (graph theory)），則為雙射。舉例，圖的典範雙重覆疊（英語：bipartite double cover），是將每點 $v$ 分裂為 $v_{0},v_{1}$ 兩點，並將原圖每條邊 $uv$ 換成交叉的兩條邊 $u_{0}v_{1}$ 、 $u_{1}v_{0}$ 。如此，可以定義函數將 $v_{0}$ 和 $v_{1}$ 皆映至 $v$ ，既是圖同態，也是覆疊映射。

圖同胚是另一個概念，不一定是同態。粗略而言，同胚要求是單射，但不必將邊映至邊，允許映至路徑。圖子式的要求更鬆。

核與回縮

K₇，七個頂點的完全圖，一種核圖

若兩幅圖 $G$ 和 $H$ 有同態 $G\to H$ 及 $H\to G$ ，則稱兩者同態等價（homomorphically equivalent）。^[4]該些映射不必單，也不必滿。例如，完全二部圖 $K_{2,2}$ 與 $K_{3,3}$ 同態等價，因為可將 $K_{2,2}$ 左部兩個頂點映到 $K_{3,3}$ 左部同一個頂點，其右部的兩個頂點映到 $K_{3,3}$ 右部一個頂點，同樣有 $K_{3,3}\to K_{2,2}$ 的同態。

收縮映射（retraction）是自圖 $G$ 至其子圖 $H$ 的同態 $r$ ，且對 $H$ 中每個頂點 $v$ 有 $r(v)=v$ 。若有此種映射，則 $H$ 稱為 $G$ 的收縮核（retract）。^[7]

核圖（core）沒有到任何真子圖的同態。亦可等價定義成無法收縮到任何真子圖的圖。^[8]每幅圖 $G$ 皆同態等價於唯一的核圖（不辨同構之別），稱為 $G$ 的核（the core of $G$ ）。^[9]此結論對無窮圖不一定成立^[10]，但對（有限的）有向圖可以照套用同樣的定義，每幅有向圖同態等價於唯一的核圖。圖（或有向圖）的核，必為原圖某個收縮核，以及某個導出子圖。^[7]

舉例，完全圖 $K_{n}$ 及奇環（奇數條邊的循環圖）皆屬核圖。若 $G$ 可染三色，且有三角形（即子圖 $K_{3}$ ），則 $G$ 同態等價於 $K_{3}$ ，原因是 $G$ 的三染色，下節將說明相當於同態 $G\to K_{3}$ ，且另一方面，任意子圖皆有同態嵌入到 $G$ ，故有 $K_{3}\to G$ 。如此，證畢 $K_{3}$ 為所有此種 $G$ 的核。與之相似，每幅非空二部圖（有至少一條邊）皆等價於 $K_{2}$ 。^[11]

與染色的關聯

對正整數 $k$ ，圖 $G$ 的 $k$ 染色是將每個頂點塗 $k$ 色之一，使每條邊的兩端都不同色。此種染色，與自 $G$ 至完全圖 $K_{k}$ 的同態，兩類物件一一對應^[12]，因為 $K_{k}$ 的各頂點對應 $k$ 種色，且若 $c_{1},c_{2}$ 為顏色，則其於圖 $K_{k}$ 相鄰當且僅當 $c_{1}\neq c_{2}$ 。於是，某函數是 $G$ 至 $K_{k}$ 的同態，當且僅當該函數將 $G$ 中相鄰的頂點映至不同顏色（即 $k$ 染色的定義）。換言之， $G$ 可染 $k$ 色等價於可染 $K_{k}$ 色。^[12]

若有同態 $G\to H$ 及 $H\to K_{k}$ ，則兩者複合可得同態 $G\to K_{k}$ 。^[13]所以，若 $H$ 可染 $k$ 色，且有同態 $G\to H$ ，則 $G$ 同樣可染 $k$ 色。因此， $G\to H$ 推出 $\chi (G)\leq \chi (H)$ ，其中 $\chi$ 表示圖的色數^{[註 1]}。^[14]

變式

其他同態亦可視作特殊的染色。給定圖 $H$ ，其頂點視為可用的顏色，每條邊表示某兩色「可兼容」，則 $G$ 的 $H$ 染色就是將相鄰頂點染成相容顏色的方案。此框架可容納許多圖染色的概念，將其表述為射向各類圖的同態。舉例如下：

循環染色（英語：Circular coloring）可定義為至循環完全圖（英語：circular clique）^{[註 2]}的同態，從而推廣一般的染色，定義「分數」色數。^[15]
分數染色（英語：Fractional coloring）與b重染色（英語：Fractional coloring）可定義成射向克內澤爾圖（英語：Kneser graph）的同態。^[16]
T染色（英語：T-coloring）的可用色集為自然數集 $\mathbb {N}$ ，但另有給定某子集 $T\subseteq \mathbb {N}$ ，禁止相鄰頂點所染顏色之差屬於 $T$ 。此種染色對應往某幅無窮圖的同態。^[17]
有向染色（英語：oriented coloring）除禁止相鄰頂點同色外，還限制不同顏色之間的所有邊皆同向（例如由藍至紅）。此為映向有向圖（英語：oriented graph）的同態。^[18]
L(2,1)染色（英語：L(2,1)-coloring）以數表示顏色，要求距離為1（相鄰）的頂點所染顏色之差至少為2，而距離為2的頂點染色之差至少為1。換言之，此為射向路圖 $P_{n}$ 之補的同態，且要求局部為單射，即在每個頂點的鄰域上為單射。^[19]

無長路徑的定向

圖同態與圖定向（英語：Orientation (graph theory)）也有關。無向圖 $G$ 的定向是賦予每邊一個方向（二選一），所得的有向圖。同一幅無向圖可以有多種不同的定向。舉例，完全圖 $K_{k}$ 可定向成「遞移循環賽圖（英語：Tournament (graph theory)）」 ${\overrightarrow {T_{k}}}$ ，其頂點為 $1,2,\ldots ,k$ ，對所有 $i<j$ 有（有向）邊自 $i$ 指向 $j$ 。給定 $G$ 的定向與 $H$ 的定向之間的同態，忘掉定向即得本來無向圖之間的同態。另一方面，給定無向圖同態 $G\to H$ ， $H$ 任何定向 ${\overrightarrow {H}}$ 可以拉回到 $G$ 的定向 ${\overrightarrow {G}}$ ，使原同態亦是 ${\overrightarrow {G}}\to {\overrightarrow {H}}$ 的有向圖同態。綜上，無向圖 $G$ 可染 $k$ 色（即有同態至 $K_{k}$ ），當且僅當 $G$ 有某定向，具有至 ${\overrightarrow {T_{k}}}$ 的同態。^[20]

有定理流傳^{[註 3]}，對每個 $k$ ，有向圖 $G$ 有同態至 ${\overrightarrow {T_{k}}}$ ，當且僅當 $k+1$ 個頂點的有向路徑圖（英語：path graph） ${\overrightarrow {P_{k+1}}}$ ^{[註 4]}無同態至 $G$ 。^[21]

因此，某圖可 $k$ 染色，當且僅當其有某定向，不容任何自 ${\overrightarrow {P_{k+1}}}$ 至該定向的同態。此命題可加強成

高洛伊-哈塞-羅伊-維塔韋爾定理（英語：Gallai–Hasse–Roy–Vitaver theorem）：某圖可 $k$ 染色，當且僅當該圖有某定向，其中無長為 $k$ 的有向路徑（即 ${\overrightarrow {P_{k+1}}}$ 作為子圖）。

與前一命題的分別在於，自 ${\overrightarrow {P_{k+1}}}$ 至某圖的同態允許將兩頂點映至同處，但「長為 $k$ 的有向路徑」不允許重複頂點。

與約束滿足問題的關聯

範例

圖

H

，表示一週中不相鄰的日子，同構於環

C_{7}

的補圖，亦同構於環狀團（英語：circular clique）

K_{7/2}

某些排程問題可用圖同態建模。^[22]^[23]設學校已知各學生所選科目，要編排今學期各專題討論班的時間，使同一學生所選的討論班時間不致太近。考慮圖 $G$ 以各科為頂點，若兩科有共同學生則連邊，而圖 $H$ 以各課節為頂點，若兩個時段隔足夠遠則連邊。舉例若限制時間表須每週循環，且每個學生所選的討論班須相隔一日，則對應的 $H$ 是環 $C_{7}$ 的補圖。如此， $G\to H$ 的圖同態，就是討論班對應到課節的合適方案。^[22]欲添加額外條件，如禁止學生同時於週五與週一有討論班，衹需從 $H$ 刪掉相應的邊。

無線電的頻段分配（英語：frequency allocation）問題簡述如下：無線網絡中，有若干發訊機，要為每部機配置一個頻率，供其發訊。為免干擾，地理位置較近的發訊機應選用相差較遠的頻率。若將條件中「地理較近」與「頻率較遠」簡化至非黑即白，則合適的分配方案又可視為圖同態 $G\to H$ 。圖 $G$ 的頂點為各發訊機，邊表示兩機地理上接近；圖 $H$ 以各頻段為頂點，邊則表示兩頻段相隔夠遠。雖然此模型甚為簡化，但是尚有保留一點彈性：若有兩機相隔較遠，但仍因地形導致可能干擾，則在 $G$ 中加邊即可。反之，若有兩機永不在同一時段發訊，則不論其地理位置是否靠近，皆可從 $G$ 中刪去該邊。同樣，或許有某些頻率相差頗遠，但是互為諧波，導致干擾，則將該邊自 $H$ 移除即可^[24]

前述模型經簡化，若要實際應用，許多問題仍待解決。^[25]約束滿足問題是圖同態問題的推廣，能表達更多種條件（例如個體偏好，或重複分配次數有上限），從而建立更實際的數學模型。

抽象觀點

數理邏輯或泛代數中，圖與有向圖屬關係結構的特例，即集合配備若干關係。有向圖就是基集（頂點集）之上有獨一個二元關係（鄰接關係）。^[26]^[3]如是觀之，圖作為關係結構的同態，按抽象代數的同態定義，等同於本文的圖同態。一般而言，欲尋找自某關係結構至另一關係結構的同態，屬於約束滿足問題（constraint satisfaction problem, CSP）。圖的特例可作為第一步，幫助理解更複雜的CSP。許多尋找圖同構的算法，包括回溯、約束傳播（英語：constraint propagation）、局部搜索（英語：Local search (constraint satisfaction)），通用於各種CSP。^[3]

給定圖 $G$ 、 $H$ ，問是否有同態 $G\to H$ ，相當於僅得一類約束的CSP實例^[3]：CSP的「變量」是 $G$ 的頂點，每個變量的「域」（可取值的範圍）是 $H$ 的頂點集。「賦值」是一個函數，將逐個變量映至域的元素，即函數 $f:V(G)\to V(H)$ 。 $G$ 的每條邊（或有向邊） $(u,v)$ 對應一個「約束」 $((u,v),E(H))$ ，限制賦值函數將邊 $(u,v)$ 映至關係 $E(H)$ 中，即映至 $H$ 的某邊。CSP的「解」是滿足全體約束的賦值，故前述CSP的解正是自 $G$ 至 $H$ 的同態。

同態的結構

同態的複合仍是同態^[13]，故可知圖的 $\to$ 關係具遞移性，又顯然自反，所以其為圖之間的預序。^[27]同態等價意義下，記 $G$ 所屬等價類為 $[G]$ ，每個等價類有唯一的核圖為其代表。關係 $\to$ 定義該些等價類之間的偏序，即同態等價類構成一個偏序集。^[28]

以 $G<H$ 表示 $G$ 有同態至 $H$ ，但反之則不然。如此定義的序 $<$ 稠密（英語：dense order），即對任意（無向）圖 $G,H$ ，若 $G<H$ ，則存在第三幅圖 $K$ 使 $G<K<H$ ，除非是平凡反例 $G=K_{0}$ 或 $G=K_{1}$ 。^[29]^[30]例如，任意兩幅整數階完全圖（除 $K_{0},K_{1},K_{2}$ 外）之間，必有無窮多幅環狀完全圖（英語：circular clique），相當於整階數之間的有理數階數。^[31]

同態等價類的偏序集是分配格，併 $[G]\lor [H]$ 是互斥併 $[G\sqcup H]$ ，而交 $[G]\land [H]$ 是圖張量積（英語：tensor product of graphs） $[G\times H]$ ，其定義不取決於等價類中所選的代表 $G,H$ 。^[32]此格中，併不可約元（英語：join-irreducible）^{[註 5]}正好是連通圖，證明方式是留意同態衹會將連通圖映到目標的一個連通分支中。^[33]^[34]交不可約元（英語：meet-irreducible）^{[註 5]}正好是積性圖（英語：Hedetniemi's conjecture）（multiplicative graphs），此種圖 $K$ 的特性是，若乘積 $G\times H$ 有同態至 $H$ ，則 $G$ 或 $H$ 兩者之一有同態至 $H$ 。如何識別積性圖是赫德米猜想（英語：Hedetniemi's conjecture）^[35]的關鍵。^[36]^[37]

圖與同態還組成範疇：圖是物件，而同態是態射。^[38]範疇的始物件是空圖 $K_{0}$ ，終物件有一個頂點和一個自環。圖張量積（英語：tensor product of graphs）是範疇論積，指數圖（英語：Hedetniemi's conjecture）^{[註 6]}是該範疇的指數物件（英語：exponential object）。換言之，自 $G\times H\to K$ 的同態與 $H\to K^{G}$ 的同態自然地一一對應。^[37]^[39]由於對任意圖 $G,H$ ，張量積 $G\times H$ 與冪 $H^{G}$ 總有定義，圖範疇是笛卡兒閉範疇。同理，同態等價類組成的格實際上是海廷代數：按海廷代數的語言，前述的積稱為交運算 $\land$ ，而前述的指數運算稱為蘊涵 $\Rightarrow$ 。^[37]^[39]

對於有向圖，適用同樣的定義。同樣有 $\to$ 是有向圖同態等價類之間的偏序，其與無向圖等價類的偏序 $\to$ 有別，但後者是前者的子序，因為無向圖亦可視為有向圖，衹是其中每條有向邊 $(u,v)$ 皆與其反向 $(v,u)$ 成對出現。換言之，無向圖同態的定義，與雙向有向圖的同態並無區別。有向圖的 $\to$ 序仍是分配格和海延代數，交與併的定義亦同上，但分別在於，該序並不稠密。亦有以有向圖為物件、同態為態射的範疇，照樣笛卡兒閉。^[40]^[39]

不可比圖

格勒奇圖（英語：Grötzsch graph），與

K_{3}

不可比

同態預序下，許多圖不可比較。兩幅不可比圖（incomparable graphs）之間，並無自任意一幅至另一幅的同態。^[41]欲構造此種圖，可考慮圖的奇圍長，即最短的奇環長度。奇圍長可等價地說成最小的奇數 $g$ ，使 $g$ 個頂點的循環圖 $C_{g}$ 有同態至 $G$ 。由此定義，若 $G\to H$ ，則 $G$ 的奇圍長大於或等於 $H$ 的奇圍長。^[42]

另一方面，前節已證若 $G\to H$ ，則 $G$ 的色數小於或等於 $H$ 的色數。所以，若 $G$ 的奇圍長及色數皆嚴格大於 $H$ ，則 $G$ 和 $H$ 不可比較。^[41] 舉例，格勒奇圖（英語：Grötzsch graph）色數為 $4$ ，且無三角形（圍長 $4$ ，奇圍長 $5$ ）^[43]，所以與三角形 $K_{3}$ 不可比。

有幾類圖的奇圍長和色數可取任意大，如克內澤爾圖（英語：Kneser graph）^[44]與廣義梅切爾斯基圖（英語：Mycielskian）^[45]。如此一類圖，若使其兩參數同時遞增，排成一列，則有無窮多幅不可比圖（同態預序下的反鏈）。^[46] 同態預序稠密（英語：dense order）等其他性質，亦可利用此類圖證明。^[47]此外，可構造同時具大色數和大圍長（不僅是奇圍長）的圖，但較複雜，見圍長 (圖論) § 圍長與圖染色。

有向圖之中，更易找到不可比圖。例如，考慮有向環 ${\overrightarrow {C_{n}}}$ ，頂點為 $1,2,\ldots ,n$ ，有向邊自 $i$ 至 $i+1$ （對 $i=1,2,\ldots ,n-1$ 各一），及自 $n$ 至 $1$ 。對於 $n,k\geq 3$ ， ${\overrightarrow {C_{n}}}$ 至 ${\overrightarrow {C_{k}}}$ 有同態當且僅當 $n$ 為 $k$ 的倍數。所以，當 $p$ 取質數值時， ${\overrightarrow {C_{p}}}$ 兩兩不可比。^[48]

計算複雜度

圖同態問題是給定一對圖 $(G,H)$ ，求自 $G$ 至 $H$ 的圖同態。對應的決定性問題問是否存在此種解。一般情況下，即詢問的實例 $(G,H)$ 不受額外限制的情況下，此決定性問題為NP完全。^[49]若限制詢問的範圍，衹限從某類圖中選出 $G$ 或 $H$ ，則可得多種不同的問題，其中有些較易求解。限制左邊 $G$ 和限制右邊 $H$ 相比，適用的方法相去甚遠，但兩者似乎有一共同特點：難易情況之間似乎有明確的分界，此分界或者已獲證，或有論文猜想如此。

至給定圖的同態

圖同態問題若固定右邊的圖 $H$ 不變，則稱為染 $H$ 色問題。 $H$ 為完全圖 $K_{k}$ 時，化成染k色問題，在 $k=0,1,2$ 時，可於多項式時間內求解，但其餘情況則是NP完全。^[50] $k=2$ 的情況相當於問圖 $G$ 可否染 $K_{2}$ 色，即是否二部圖，此問題可在線性時間內求解。更一般地，衹要 $H$ 是二部圖就有同一結論：可染 $H$ 色等價於可染 $K_{2}$ 色，即可染二色，故此種情況同樣易判斷。可染 $K_{0}$ 色和可染 $K_{1}$ 色分別等價於無頂點和無邊，亦易判斷。^[51]帕沃爾·黑爾（英語：Pavol Hell）和雅羅斯拉夫·內舍特日爾（英語：Jaroslav Nešetřil）證明，對無向圖而言，無其他情況可馴順：

（黑爾-內舍特日爾定理，1990年）若 $H$ 為二部圖，則染 $H$ 色問題屬於P，但其餘情況則為NP完全。^[52]^[53]

上述定理又稱為無向圖同態的「對分定理」（dichotomy theorem），因為將染 $H$ 色問題分成NP完全與P兩類，而無居中（英語：NP-intermediate）情況。有向圖情況較複雜，此時問題等價於刻畫看似更一般的約束滿足問題的複雜度（英語：Complexity of constraint satisfaction）^[54]：有向圖的染 $H$ 色問題，與允許各種約束條件的CSP相比，同樣多姿多彩，而不失一般性。^[55]^[56]嚴格而言，定義（有限）約束語言（constraint language，或稱模板template） $\Gamma$ 為一個有限的取值域，其上配備有限多種關係，然後以 ${\mathsf {CSP}}(\Gamma )$ 表示約束衹能選自 $\Gamma$ 的一類約束滿足問題，則有以下定理：

（費德、瓦迪（英語：Moshe Y. Vardi），1998年）對任意約束語言 $\Gamma$ ，必有某幅有向圖 $H$ ，使 ${\mathsf {CSP}}(\Gamma )$ 在多項式時間歸約意義下等價於染 $H$ 色問題。^[56]

直觀理解，定理意味着任何算法技巧或複雜度結論，若適用於一般有向圖 $H$ 的染 $H$ 色問題，則可套用至一般CSP。考慮將黑爾-內舍特日爾定理擴展至有向圖。由上述定理，該推廣等價於有關CSP對分的費德-瓦迪猜想（又稱CSP猜想、對分猜想），即斷言對任意約束語言 $\Gamma$ ， ${\mathsf {CSP}}(\Gamma )$ 或屬NP完全，或屬P。^[49]此猜想於2017年由德米特里·祖克（Dmitry Zhuk）與安德烈·布拉托夫（Andrei Bulatov）分別獨立證出，故有以下推論：

（布拉托夫2017年；祖克2017年）給定 $H$ 時，有向圖的染 $H$ 色問題或屬P，或屬NP完全。

自給定族的同態

若左輸入 $G$ 為給定，則圖同態問題有暴力解法，即窮舉 $G$ 的各個頂點在 $H$ 中的像，複雜度僅為 ${\mathcal {O}}\left(|V(H)|^{|V(G)|}\right)$ ，已是輸入 $H$ 的多項式函數。^[57]換言之，限制 $G$ 的大小時，問題顯然屬P，但仍可改為研究另一課題：除大小之外，是否其他限制可施加於 $G$ ，使圖同態問題可於多項式時間內求解？

研究表明，關鍵性質是樹闊（英語：treewidth），此參數衡量一幅圖有多似一棵樹。若 $G$ 的樹闊至多為 $k$ ，而 $H$ 為任意圖，則利用標準的動態規劃方法，可於 $|V(H)|^{{\mathcal {O}}(k)}$ 時間內求解圖同態問題。實際甚至衹需假設 $G$ 的核的樹闊不逾 $k$ ，而無需知道其核為何。^[58]^[59]

該 $|V(H)|^{{\mathcal {O}}(k)}$ 算法中，複雜度的指數可能無法再壓低太多：若指數時間假設（英語：exponential time hypothesis）^{[註 7]}（ETH）為真，則不存在時間複雜度為 $|V(H)|^{o(\mathrm {tw} (G)/\log \mathrm {tw} (G))}$ 的算法。即使限制 $G$ 衹能取值為某一族圖，衹要該族圖的樹闊無上界，則仍有同樣結論。^[60]同樣假設下，幾乎沒有其他性質使問題可於多項式時間內求解，具體含義如下：

（格羅厄（英語：Martin Grohe））假定ETH，並給定由圖組成的可計算族 ${\mathcal {G}}$ 。考慮輸入為 $(G,H)$ ，且 $G\in {\mathcal {G}}$ 的圖同態問題。此問題屬P當且僅當 ${\mathcal {G}}$ 中各圖之核的樹闊有界。^[59]

或考慮有所取捨，允許複雜度高度依賴 $G$ ，換取複雜度與 $H$ 的關係僅為固定的多項式。與前段類似，若 $G$ 的取值範圍中，核的樹闊有界，則此目標可以實現，但若 $G$ 的取值範圍不滿足該條件，則無法達成。^[59]利用帶參數複雜度（英語：parameterized complexity）術語，上述成果可覆述為： ${\mathcal {G}}$ 中的同態問題，以 $G$ 的邊數為參數，呈現對分現象。若 ${\mathcal {G}}$ 中各圖之核的樹闊有上界，則該問題為固定參數可馴順（英語：fixed-parameter tractable），否則為W[1]（英語：Parameterized complexity）完全。

同一命題對其他關係結構亦成立。換言之，其適用於一般的約束滿足問題，不過需要限制各項約束涉及的變量數有上界，即關係的元數有上界（以圖為例，僅得元數為2的關係）。此時，關鍵參數為原始約束圖（英語：primal constraint graph）^{[註 8]}的樹闊。^[60]

參見

圖論術語
同態，其他代數結構的同一概念
圖重寫（英語：Graph rewriting）
中位圖（英語：Median graph），可定義成超立方圖（英語：hypercube graph）的收縮核
西多連科猜想（英語：Sidorenko's conjecture）

註

^ 使該圖可染 $k$ 色的最小 $k$ 值。
^ 取 $0$ 至 $n-1$ 為 $n$ 個頂點，相異兩點 $u,v$ 間有連邊當且僅當模 $n$ 運算時， $|u-v|$ 大於某定值。
^ 數學流傳（英語：Mathematical folklore），謂難以溯源或原創者並無正式投稿出版，但廣為研究者熟知的定理。
^ ${\overrightarrow {P_{n}}}$ 的頂點為 $1,2,\ldots ,n$ ，且對每個 $i=1,2,\ldots ,n-1$ 有一條邊自 $i$ 至 $i+1$ 。
^ ^5.0 ^5.1 $x$ 為併不可約，意即 $x=a\lor b$ 推出 $x=a$ 或 $x=b$ 。對偶概念為交不可約。
^ 指數圖（exponential graph） $H^{G}$ 的頂點是函數 $f:V(G)\to V(H)$ ，兩頂點 $f,g:V(G)\to V(H)$ 連邊當且僅當對 $G$ 中任意兩個相鄰頂點 $v,v'$ ，有 $f(v)$ 與 $g(v')$ 在 $H$ 中相鄰。
^ 指數時間假設與P ≠ NP類似，皆是未獲證的複雜度假設，但前者更強。
^ 約束滿足問題中，以變數為頂點，兩變數有出現在同一個約束中則連邊，可得「原始約束圖」。此即以各約束為邊的超圖的原始圖（英語：primal graph）。

參考資料

^ Hell & Nešetřil 2004，第27頁.
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約束滿足、泛代數

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[14] 使該圖可染 $k$ 色的最小 $k$ 值。

[16] 取 $0$ 至 $n-1$ 為 $n$ 個頂點，相異兩點 $u,v$ 間有連邊當且僅當模 $n$ 運算時， $|u-v|$ 大於某定值。

[23] 數學流傳（英語：Mathematical folklore），謂難以溯源或原創者並無正式投稿出版，但廣為研究者熟知的定理。

[24] ${\overrightarrow {P_{n}}}$ 的頂點為 $1,2,\ldots ,n$ ，且對每個 $i=1,2,\ldots ,n-1$ 有一條邊自 $i$ 至 $i+1$ 。

[irred-37] 5.0 ^5.1 $x$ 為併不可約，意即 $x=a\lor b$ 推出 $x=a$ 或 $x=b$ 。對偶概念為交不可約。

[44] 指數圖（exponential graph） $H^{G}$ 的頂點是函數 $f:V(G)\to V(H)$ ，兩頂點 $f,g:V(G)\to V(H)$ 連邊當且僅當對 $G$ 中任意兩個相鄰頂點 $v,v'$ ，有 $f(v)$ 與 $g(v')$ 在 $H$ 中相鄰。

[66] 指數時間假設與P ≠ NP類似，皆是未獲證的複雜度假設，但前者更強。

[68] 約束滿足問題中，以變數為頂點，兩變數有出現在同一個約束中則連邊，可得「原始約束圖」。此即以各約束為邊的超圖的原始圖（英語：primal graph）。

[FOOTNOTEHellNešetřil200427-1] Hell & Nešetřil 2004，第27頁.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004109-2] Hell & Nešetřil 2004，第109頁.

[FOOTNOTEHellNešetřil2008-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Hell & Nešetřil 2008.

[intros-4] 4.0 ^4.1 引論見諸：Cameron (2006); Hahn & Tardif (1997); Hell & Nešetřil (2004). 由短至長排。

[FOOTNOTEHahnTardif1997Observation_2.3-5] Hahn & Tardif 1997，Observation 2.3.

[FOOTNOTEGodsilRoyle2001115-6] Godsil & Royle 2001，第115頁.

[FOOTNOTEHellNešetřil200419-7] 7.0 ^7.1 Hell & Nešetřil 2004，第19頁.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004Proposition_1.31-8] Hell & Nešetřil 2004，Proposition 1.31.

[FOOTNOTECameron2006Proposition_2.3HellNešetřil2004Corollary_1.32-9] Cameron 2006，Proposition 2.3; Hell & Nešetřil 2004，Corollary 1.32.

[FOOTNOTEHellNešetřil200434-10] Hell & Nešetřil 2004，第34頁.

[FOOTNOTECameron20064Proposition_2.5-11] Cameron 2006，第4頁，Proposition 2.5.

[FOOTNOTECameron20061HellNešetřil2004Proposition_1.7-12] 12.0 ^12.1 Cameron 2006，第1頁; Hell & Nešetřil 2004，Proposition 1.7.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004§1.7-13] 13.0 ^13.1 Hell & Nešetřil 2004，§1.7.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004Corollary_1.8-15] Hell & Nešetřil 2004，Corollary 1.8.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004§6.1HahnTardif1997§4.4-17] Hell & Nešetřil 2004，§6.1; Hahn & Tardif 1997，§4.4.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004§6.2HahnTardif1997§4.5-18] Hell & Nešetřil 2004，§6.2; Hahn & Tardif 1997，§4.5.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004§6.3-19] Hell & Nešetřil 2004，§6.3.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004§6.4-20] Hell & Nešetřil 2004，§6.4.

[21] Fiala, J.; Kratochvíl, J., Partial covers of graphs [圖之部分覆蓋], Discussiones Mathematicae Graph Theory, 2002, 22 (1): 89–99, S2CID 17507393, doi:10.7151/dmgt.1159 （英語）

[FOOTNOTEHellNešetřil200413–14-22] Hell & Nešetřil 2004，第13–14頁.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004Proposition_1.20-25] Hell & Nešetřil 2004，Proposition 1.20.

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[FOOTNOTEHellNešetřil2004§1.8-27] Hell & Nešetřil 2004，§1.8.

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[HN-csp-30] Hell & Nešetřil 2004，第28頁，該書稱關係結構（relational structures）為「關係系統」（relational systems）。

[FOOTNOTEHellNešetřil2004§3.1-31] Hell & Nešetřil 2004，§3.1.

[FOOTNOTEHellNešetřil2004Theorem_3.1-32] Hell & Nešetřil 2004，Theorem 3.1.

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