多重線性映射

在線性代數中，多重線性映射是有多個向量變量而對每個變量都是線性的函數。

n個變量的多線性映射也叫做n重線性映射。

如果所有變量屬於同一個空間，可以考慮對稱、反對稱和交替的n重線性映射。後兩個是一致的，如果底層的環（或域）有不同於二的特徵，否則前兩個是一致的。

例子

在實數域上的內積（點積）是兩個變量的對稱雙線性函數，
矩陣的行列式是方矩陣的列（或行）的斜對稱多重線性函數。
矩陣的跡數是方矩陣的列（或行）的多重線性函數。
雙線性映射是多重線性映射。

在n×n矩陣上多重線性映射

可以考慮在有單位元的交換環K上的n×n矩陣上的多重線性函數為矩陣的行（或等價說列）上的函數。設A是這樣的矩陣而 $a_{i}$ , 1 ≤ i ≤ n是A的行。則多重線性函數D可以寫為

D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n})

，

滿足

D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})

，

如果我們設 $\varepsilon _{j}$ 表示單位矩陣的第j行，我們用下列方法表示 $a_{i}$

a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j}

利用D的多線性我們重寫D（A）為

D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)D(\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n})

繼續這種代換於每個 $a_{i}$ 我們得到，對於1 ≤ i ≤ n

D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})

所以D(A)是唯一的決定自它如何運算於 $D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})$ 上。

在2×2矩陣的情況下我們得到

D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})+A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})+A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})+A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})

，

這裡的 $\varepsilon _{1}=[1,0]$ 且 $\varepsilon _{2}=[0,1]$ 。如果我們限制D是交替函數，則 $D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})=D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})=0$ 且 $D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})=-D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})=-D(I)$ 。設 $D(I)=1$ 我們得到在2×2矩陣上行列式函數: