對偶範數

對偶範數是數學中泛函分析里的概念。考慮一個賦范向量空間的對偶空間時，常常需要給對偶空間賦以合適的幾何架構。對偶範數是一種自然的賦范方式。

定義

對偶空間

主條目：對偶空間

給定一個係數域為$\mathbb {F}$賦范向量空間（比如說一個巴拿赫空間）E（其中$\mathbb {F}$通常是實數域$\mathbb {R}$或複數域$\mathbb {C}$），所有從E到$\mathbb {F}$上的連續線性映射（也稱為連續線性泛函）的集合稱為E的（連續）對偶空間，記作：E' .

對偶範數

可以證明，E′是一個向量空間。其上可以裝備不同的範數。對偶範數（$\|\cdot \|'$）是一種自然的範數定義方式，定義為：

$\forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}$

由於E′中的元素的是連續線性泛函，所以按照以上定義的範數必然存在，是一個有限正實數。引進了對偶範數後，E′成為一個賦范線性空間。可以證明，E′在對偶範數下必然是完備的，所以E′是巴拿赫空間。

證明：

給定一個由E′中元素構成的柯西序列：$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，其中每一個$f_{n}$都是E-線性泛函。由柯西序列的定義可知，

$\forall \epsilon >0,\;\;\exists N\in \mathbb {N} ,$ 使得$\forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .$

所以對E中任何元素x，都有：

$\forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.$

這說明$\left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }$是柯西數列，因而收斂：數列的極限存在。定義函數$f:\;\;E\rightarrow \mathbb {F}$如下：

$f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).$

這樣定義的函數f 是連續線性泛函，屬於E′。事實上：

1. f 是線性映射：

   $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,$

   $f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

2. f 是連續映射：

   將$\epsilon$定為1，則存在$N_{1}\in \mathbb {N}$，使得$\forall n>N_{1}$，都有$\|f_{n}-f_{N_{1}}\|'<1$，這說明：

   $\forall n>N_{1},\;\;\|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.$ 因此，$\forall n>N_{1},\;\;x\in E,\;\;\|x\|<1,$ 都有$|f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.$

   當$n$趨向無窮大時，就有：$|f(x)|\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1$。這說明f 是連續映射。

最後證明f 是序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在對偶範數下的極限：

給定$\epsilon >0$，總能找到$N\in \mathbb {N}$，使得：

$\forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon ,$ 所以，$\forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,$

$|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .$

當$m$趨向無窮大時，就有：$|f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .$

因此，$\forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .$

這說明序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在對偶範數下收斂到f。所以E′是完備空間。

例子

給定兩個大於1的實數p和q。如果兩者滿足：${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，那麼序列空間$\ell ^{p}$和$\ell ^{q}$互相是對偶空間（在同構的意義上）。$\ell ^{p}$裝備的是序列p-範數之時，它的對偶空間裝備的對偶範數可以和裝備了序列q-範數的$\ell ^{q}$建立等距同構。當$p=q=2$時，以上性質說明，$\ell ^{2}$和自身對偶。