對角優勢矩陣

對角占優矩陣是指一矩陣的每一橫行，對角線上元素的大小大於或等於同一橫行其他元素大小的和，一矩陣A為對角占優矩陣若

$|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,$

其中a_ij為第i行第j列的元素。

上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為弱對角占優矩陣，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為強對角占優矩陣。對角優勢矩陣可以指弱對角占優矩陣，也可以指強對角占優矩陣，視上下文而定。

變體

第一段的定義是考慮同一橫行其他元素大小的和，有時也稱為行對角優勢矩陣，若是考慮同一直列其他元素大小的和，則稱為列對角優勢矩陣。

若一不可約矩陣是弱對角優勢矩陣，但至少一橫行（或一直列）符合強對角優勢的條件，則此矩陣稱為不可約對角優勢矩陣。

例子

矩陣

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}$

可得

$|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|$   因為  $|3|\geq |-2|+|1|$

$|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|$   因為  $|-3|\geq |1|+|2|$

$|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|$   因為  $|4|\geq |-1|+|2|$.

因為任一對角線元素大小都大於等於同一行其他元素的和，因此A為對角優勢矩陣。

矩陣

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}$

但是

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$   因為  $|-2|<|2|+|1|$

$|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|$   因為  $|3|\geq |1|+|2|$

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$   因為  $|0|<|1|+|-2|$.

因為$|b_{11}|$和$|b_{33}|$都小於同一列其他元素大小的和，因此B不是對角優勢矩陣。

矩陣

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}$

可得

$|c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|$   因為  $|-4|>|2|+|1|$

$|c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|$   因為  $|6|>|1|+|2|$

$|c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|$   因為  $|5|>|1|+|-2|$.

因為任一對角線元素大小都大於同一行其他元素的和，因此C為強對角優勢矩陣。

應用及性質

強對角優勢矩陣（或不可約對角優勢矩陣）是非奇異方陣，此結果即為Levy–Desplanques定理，針對強對角優勢矩陣的結果，可以用Gershgorin圓定理證明。

若埃爾米特對角優勢矩陣$A$，其對角線為非負值，即為正定矩陣。

若不考慮對稱性的條件，上述的矩陣不一定會是半正定矩陣。（例如，${\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}\\2\\1\end{bmatrix}}=10-5{\sqrt {5}}<0$），但其特徵值的實部為非負數（參見對角優勢矩陣的結果，可以用Gershgorin圓定理。）

類似的，若埃爾米特強對角優勢矩陣的對角線元素為正，此矩陣為正定矩陣，此矩陣等於某個對角線元素為非負值實數的埃爾米特強對角優勢矩陣$A$加上$xI$，其中$x$為正的實數（也是正定矩陣）。

若高斯消去法（LU分解）的矩陣為強對角優勢矩陣，不需要進行尋找主元的過程。

若一線性聯立方程的矩陣為強對角優勢矩陣或不可約對角優勢矩陣，利用雅可比法及高斯-賽德爾迭代的計算結果會收斂。

許多從有限元素法中產生的矩陣都是對角優勢矩陣。

參考資料

• Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 1996. ISBN 0-8018-5414-8
• Roger A. Horn & Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

外部連結

• PlanetMath: Diagonal dominance definition （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PlanetMath: Properties of diagonally dominant matrices （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）