標準布朗橋(英語:Brownian bridge)是概率論中常見的一個研究對象。 它是一種連續時間上的隨機過程, 在0和1處取值為0.

2個相互獨立的標準布朗橋

注意不要和布朗運動混淆。

布朗橋有時又被稱為綁在0和1處的布朗運動(此處僅為意譯)。

非標準的 布朗橋 只是在條件 下一般化的布朗橋。

定義

标准的布朗桥  为一个连续时间上的 随机过程 ,它的分布为在条件 下的维纳过程 (Wiener Process)。

它首先是一個高斯過程, 也就是說隨機向量  在條件  下服從高斯分布。所以它可以由期望和協方差來刻畫:

 
 

定義的備註

事件  的概率為0。 考慮滿足

 

的事件  , 我們可以考察條件分布  。 由依分布收斂 可得:

 

這給出了布朗橋的一個嚴格定義。


和其他隨機過程的關係

和布朗運動的關係

性質1

  為一個 維納過程 (或者 布朗運動), 那麼過程   :

 

為一個標準的布朗橋。

相互定義

  為一個標準的布朗橋, Z 是一個正態隨機變量,則過程   et   :

     et     

   上的維納過程。

性質 2

  為一個 維納過程, 則過程  

 

為一個標準布朗橋。

相互定義

  為一個標準的布朗橋, 那麼過程  

 

為一個維納過程。


擴散形式下的表達

也可以認為布朗橋是一種擴散過程。 事實上, 如果   是一種標準的布朗橋,隨機方程

 

初始條件 的解和布朗橋同分布。

事實上,  是一個 馬氏過程,這個從布朗橋的定義中不容易看出。

性質

  為標準的布朗橋。

性質3

b 為一個實數,

 

性質4

b 為一個正實數

 

性質 5

a et b 為2個正實數.

 

性質6

x 為一個正實數

 


相關條目

參考文獻