開映射定理

在泛函分析中，開映射定理（open mapping theorem，亦稱巴拿赫-紹德定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem)）是一個基本的結果，它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性算子是滿射的，那麼它就是一個開映射。更加精確地(Rudin 1973，定理2.11):

• 如果X和Y是巴拿赫空間，A : X → Y是一個滿射的連續線性算子，那麼A就是一個開映射（也就是說，如果U是X內的開集，那麼A(U)就是Y內的開集）。

該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間，那麼定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那麼定理的結論仍然成立。

結果

開映射定理有一些重要的結果：

• 如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性算子，那麼逆算子A^-1 : Y → X也是連續的。(Rudin 1973，推論2.12)

• 如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的線性算子，且如果對於X內的每一個序列(x_n)，只要x_n → 0且Ax_n → y就有y = 0，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。(Rudin 1973，定理2.15)

證明

我們需要證明，如果A : X → Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。

設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數k U的序列的併集，k ∈ N，且由於A是滿射，

$Y=A(X)=A{\Bigl (}\bigcup _{k\in \mathbb {N} }kU{\Bigr )}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }A(kU).$

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的併集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v ∈ V，那麼c + r v和c位於B(c, r)內，因此是A(k U)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是A(k U) − A(k U) ⊂ A(2k U)的極限點。根據A的線性，這意味着任何v ∈ V都位於A(δ ⁻¹ U)的閉包內，其中δ = r / (2k)。於是可以推出，對於任何y ∈ Y和任何ε > 0，都存在某個x ∈ X，滿足：

$\ ||x||<\delta ^{-1}||y||\quad$ 且 $\quad ||y-Ax||<\varepsilon .\quad (1)$

固定y ∈ δ V。根據(1)，存在某個x ₁，滿足||x ₁|| < 1且||y − A x ₁|| < δ / 2。定義序列{x_n}如下。假設：

$\ ||x_{n}||<2^{-(n-1)}\quad$ 且 $\quad ||y-A(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})||<\delta \,2^{-n}\,;\quad (2)$

根據(1)，我們可以選擇x _n +1，使得：

$\ ||x_{n+1}||<2^{-n}\quad$ 且 $\quad ||y-A(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})-A(x_{n+1})||<\delta \,2^{-(n+1)},$

因此x _n +1滿足(2)。設

$\ s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}.$

從(2)的第一個不等式可知，{s_n}是一個柯西序列，且由於X是完備的，s_n收斂於某個x ∈ X。根據(2)，序列A s_n趨於y，因此根據A的連續性，有A x = y。而且：

$||x||=\lim _{n\rightarrow \infty }||s_{n}||\leq \sum _{n=1}^{\infty }||x_{n}||<2.$

這表明每一個y ∈ δ V都屬於A(2 U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。

推廣

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin，定理2.11)：

• 設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果A : X → Y是一個連續線性算子，那麼要麼A(X)是Y內的貧集，要麼A(X) = Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。

更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那麼A有一個標準分解，形如下式：

$X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y$

其中X / N是X對閉子空間N的商空間（也是F空間）。商映射X → X / N是開放的，且映射α是拓撲向量空間的同構(Dieudonné，12.16.8)。

參考文獻

• Rudin, Walter, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-054236-8 
• Dieudonné, Jean, Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press, 1970 

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