弗羅貝尼烏斯自同態

數學中,特別交換代數理論中,弗羅貝尼烏斯自同態Frobenius endomorphism,簡稱弗羅貝尼烏斯)是特徵素數p交換環中的一個特殊的自同態。這個自同態以德國數學家費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯命名。弗羅貝尼烏斯自同態將環中的每個元素射到它的p乘冪

弗羅貝尼烏斯

在一般情況下,弗羅貝尼烏斯並不總是自同構

定義

R 是一個交換環,特徵是素數p。定義環上的弗羅貝尼烏斯自同態F 為:

 

這是一個自同態,因為首先對於乘法,它必然服從

 

並且F(1) 也顯然是1。然而同時,對於加法,也有:

 

這是因為 ,而其中除了   兩項之外,其餘的每一項都是p的倍數。事實上,其餘的每一項都是 ,也就是  的形式,其中k 是一個介於1和p-1 之間的整數。這樣,分母  無法被p 整除,而分子可以被p 整除。於是,整體來說是p倍數。因此,由於環的特徵是p,這一項實際是0。從而:

 
 

綜上,弗羅貝尼烏斯自同態是滿足自同態的定義的。

一般來說,弗羅貝尼烏斯自同態F 不是自同構,也就是說它不是一個一一映射。舉例來說,令K為域Fp(t),也就是在p有限域Fp 中加入一個新的超越元素t 擴展得到的擴域。顯然,由於t 是超越元,它不可能在F集裡面,否則t 就會是一個Fp-多項式,而不是超越元素。也就是說,F 不是自同構。

弗羅貝尼烏斯的不動點

R 為一個特徵是p整環。這裡弗羅貝尼烏斯F 的不動點是所有使得方程 xp = x 成立的元素,也就是多項式xp - x。根據費馬小定理,這個多項式的全部根是0, 1, 2, ..., p - 1。因此,弗羅貝尼烏斯的不動點是R 中的素域

有限域的弗羅貝尼烏斯

Fq 為一個階數等於q 的有限域,其中的q = pdp 是域的特徵。弗羅貝尼烏斯將域中的 Fp 部分之中的元素映射到自身。可以證明,F 生成了域擴張 伽羅瓦群

參考資料

  • Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications). Chapman and Hall/CRC. 2008. ISBN 978-1-420-07146-7.