懷特黑德定理

在數學領域代數拓撲學同倫論中,懷特海德定理說,拓撲空間XY之間的連續映射f,誘導出所有同倫群之間的同構,則當XY連通,並都有CW複形的同倫型的時候,f同倫等價。這條定理是J.H.C.懷特海德在1949年的兩篇重要論文中證明,給出理由以他在論文所引入的CW複形概念作為研究對象。

定理敘述

更準確而言,假設給定CW複形XY,各有基點xy。給定連續映射

 

使得f(x) = y。考慮對於n ≥ 1 的誘導同態

 

在此 πnn ≥ 1 是第n個同倫群。當 n = 0 ,這是道路連通分支間的映射,若假設XY是連通的,那麼這映射不具有基點,可以忽略掉。若同態 f* 都是同構,便稱 f 為一個弱同倫等價。懷特海德定理說對於連通CW複形,一個弱同倫等價是一個同倫等價。

有同構同倫群的空間未必是同倫等價

有一點要注意:單單假設對每個n ≥ 1都有πn(X)與πn(Y)同構,並不足以得出XY是同倫等價。定理中必需設有映射f : XY能同時誘導出所有同倫群的同構。例如令 X= S2 × RP3Y= RP2 × S3。那麼XY有相同的基本群π1,即是Z2,也有相同的萬有覆疊空間,即是S2 × S3;因此它們有同構的同倫群(覆疊空間的投影誘導出對所有n ≥ 2的同倫群πn的同構)。不過,它們的同調群不同(可以從屈內特公式看出);所以XY不是同倫等價。

 
華沙圈

懷特海德定理對於一般拓撲空間不成立,甚至不對Rn的所有子空間成立。例如,華沙圈(Warsaw circle)是平面的子集,所有的同倫群都是零,但是從華沙圈到一點的映射不是一個同倫等價。將這定理推廣至更一般空間的研究,是形狀理論的一部份。

參考文獻