擾動函數

最優化領域中,擾動函數(perturbation function)是與主問題和對偶問題相關的任何函數。由於任何此類函數都定義了對初始問題的擾動,所以叫做擾動函數。很多時候這種擾動的形式是約束的調整(shift)。[1]

有時值函數(value function)也被稱作擾動函數,而擾動函數則稱作雙函數(bifunction)。[2]

定義

給定豪斯多夫局部凸空間的兩個對偶對  ,以及函數 ,可以定義主問題為

 

可令 以將約束嵌入f,其中I示性函數。則 是擾動函數,當且僅當 [1][3]

在對偶性中的應用

對偶間隙是不等式右式與左式之差

 

其中 是兩個變量的凸共軛[3][4]

對擾動函數F的任意選擇,弱對偶都成立。有一些條件一旦滿足,就意味着強對偶[3]例如,若F下半連續真聯合凸函數,且 (其中 代數內部 是由 定義的到Y的投影),並且XY弗雷歇空間,則強對偶性成立。[1]

例子

拉格朗日量

  對偶(為對偶對)。給定主問題(最小化 )與相關的擾動函數( ),則拉格朗日量 F關於y的負共軛(即凸共軛),也就是說拉格朗日量的定義是

 

特別地,弱對偶minmax方程可以證明為

 

若主問題是

 

其中 。則若擾動是

 

則擾動函數是

 

於是,可見與拉格朗日對偶的聯繫,因為L可以簡單地看成是

 

芬切爾對偶性

  對偶。假定存在線性映射 伴隨算子 。假定主目標函數 (通過示性函數,包含了約束)可以寫作 使得 ,則擾動函數為

 

特別地,若主目標函數是 ,則擾動函數來自 ,這是芬切爾對偶性的傳統定義。[5]

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Radu Ioan Boţ; Gert Wanka; Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. Springer. 2009. ISBN 978-3-642-02885-4. 
  2. ^ J. P. Ponstein. Approaches to the Theory of Optimization. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-60491-8. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. 2002: 106–113. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556. 
  4. ^ Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. Logos Verlag Berlin GmbH. 2010. ISBN 978-3-8325-2503-3. 
  5. ^ Radu Ioan Boţ. Conjugate Duality in Convex Optimization. Springer. 2010: 68. ISBN 978-3-642-04899-9.