有序向量空間

在數學中，有序向量空間（ordered vector space）是帶有偏序的向量空間，並且偏序與向量空間的運算是相容的。又稱偏序向量空間（partially ordered vector space）。

$\mathbb {R} ^{2}$中的一點$x$以及集合$\{y|x\leq y\}$（紅色）。此處的序定義為$x\leq y$當且僅當$x_{1}\leq y_{1}$且$x_{2}\leq y_{2}$。

定義

給定實數$\mathbb {R}$上的向量空間$V$以及集合$V$上的預序$\leq$，如果對$V$中任意的$x,y,z$以及非負實數$\lambda$，以下公理成立

1. $x\leq y\implies x+z\leq y+z$
2. $x\leq y\implies \lambda x\leq \lambda y$

則有序對$(V,\leq )$稱為預序向量空間（preordered vector space）。若$\leq$還是偏序，則$(V,\leq )$稱為有序向量空間。這兩條公理說明，平移與正的位似變換是序結構的自同構，並且映射$x\mapsto -x$是到對偶序結構的同構。有序向量空間關於其加法運算構成有序群。

正錐

給定預序向量空間$V$，子集$V^{+}=\{x\in V|x\geq 0\}$是一個凸錐，稱為$V$的正錐（positive cone）。若$V$是有序向量空間，則$V^{+}\cap (-V^{+})=\{0\}$，因此$V^{+}$還是真錐。

若$V$是實向量空間，$C$是$V$的真凸錐，則存在唯一的偏序使得$V$成為有序向量空間並且$V^{+}=C$。這個偏序由以下方式給出

$x\leq y$當且僅當$y-x\in C$

因此，向量空間$V$上（與向量空間結構相容）的偏序與$V$的真凸錐之間存在一一對應。

例子

• 實數關於通常的順序構成有序向量空間。
• 以下關係都是$\mathbb {R} ^{2}$上的偏序，且按照從弱到強的順序排列。
  1. 字典序：$(a,b)\leq (c,d)$當且僅當$a<c$或$(a=c,b\leq d)$。這是一個全序。正錐由條件$x>0$或$(x=0,y\geq 0)$給出。用極坐標表示，正錐就是由角度滿足$-{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}}$的點再加上原點組成。
  2. $(a,b)\leq (c,d)$當且僅當$a\leq c$且$b\leq d$（這實際上就是兩個偏序集$(\mathbb {R} ,\leq )$的乘積序）。這是一個偏序。正錐由$x\geq 0,y\geq 0$給出。在極坐標中就是$0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$，再加上原點。
  3. $(a,b)\leq (c,d)$當且僅當$(a<c,b<d)$或$(a=c,b=d)$，也就是兩個$(\mathbb {R} ,<)$的直積的反射閉包。正錐由$(x>0,y>0)$或$x=y=0$給出。在極坐標系中，就是$0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$，再加上原點。

只有第二個序是閉集（作為$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$的子集）。

• 仿照$n=2$的情況，可以在$\mathbb {R} ^{n}$上定義類似的偏序。例如，仿照上面提到的第二個序，可以定義：
  • $x\leq y$當且僅當$x_{i}\leq y_{i}\,(i=1,\cdots ,n)$
• 里斯空間是有序向量空間，並且還是格。
• $[0,1]$上的連續函數組成的空間，$f\leq g$當且僅當對任意$x\in [0,1],\,f(x)\leq g(x)$。

備註

偏序向量空間中的區間是凸集。設$[a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}$，由上面的兩個公理可以得出：如果$x,y\in [a,b],\lambda \in (0,1)$，則$\lambda x+(1-\lambda )y\in [a,b]$。

參見

• 偏序空間
• 里斯空間

參考文獻

• 尼古拉·布爾巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
• Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
• Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.