本迪克森-杜拉克定理

數學裡,本迪克森-杜拉克定理說明了對於一個二維的駐定動力系統

如果存在使得

在研究區域(必須是單連通的)上幾乎處處成立,那麼這個動力系統不存在周期解。所謂「幾乎處處成立」是指不成立的點的集合是一個測度為零的集合。這個定理可以用格林定理證出。

證明

運用反證法,假設研究區域為單連通的區域  ,其內存在對於動力系統:

 
 

的一組周期解 ,其周期為 ,那麼對於

 

所圍成的區域 ,有

 
 

但是由於使得   的點   的集合是一個測度為零的集合,所以總可以找到   使得 在零點之外不變號。這樣 不可能為0,矛盾!

因此周期解不存在,定理得證。

參見

參考資料

  • 王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松,《常微分方程》(第三版),297頁,高等教育出版社。
  • MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION,Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]