枚舉幾何
歷史
阿波羅尼奧斯問題是枚舉幾何最早的例子之一。這個問題要求找出與3個給定圓、點或與線相切的圓的數量和構造。一般來說，3個給定圓的問題有8個解，可以看做是23個解，每個相切條件都對圓的空間施加了二次條件。然而，對於給定圓的特殊排列，解的數目也可能是0（無解）到6之間的任意整數；沒有任何一種排列有7個解。
核心工具
從初級到高級的工具包括：
- 余維數
- 貝祖定理
- 舒伯特積分，以及上同調中的示性類
- 交點計數與上同調的聯繫源於龐加萊對偶性
- 曲線、映射等幾何對象的模空間的研究，有時通過量子上同調進行。量子上同調、格羅莫夫-威滕不變量和鏡像對稱的研究在克萊門斯猜想中取得了重大進展。
枚舉幾何與相交理論關係密切。
舒伯特積分
19世紀末，枚舉幾何在赫爾曼·舒伯特手中得到了驚人的發展，[1]他為此引入了舒伯特積分，其在更廣泛的領域具有基本的幾何與拓撲學價值。直到1960、70年代，枚舉幾何的特殊需求才得到進一步關注（如Steven Kleiman指出的）。相交數已有嚴格定義（安德烈·韋伊作為其基礎課程1942–6,[2]的一部分提出），但這並沒有窮盡枚舉問題的基本領域。
修正因子與希爾伯特第15問題
正如下面的例子所示，天真地應用維數計數與貝祖定理會產生錯誤結果。為解決這些問題，代數幾何學家引入了模糊的「修正因子」，幾十年後才有嚴格證明。
例如，計與射影平面中5條給定直線相切的圓錐曲線之數。[3]它們構成維數為5的射影空間，其6個係數作為齊次坐標。若5個點處於一般的線性位置（穿過給定點會帶來線性條件），就可以確定一條圓錐曲線。同樣，與給定直線L相切（即相交，倍數為2）是個二次條件，於是 中確定了二次曲面。但由所有此類二次曲面構成的除子線性系統並非沒有基軌；事實上，每個此種二次曲面都包含委羅內塞面，參數化了圓錐曲線
稱作「雙線」。這是因為，雙線與平面的每條直線都相交（因為射影平面中的直線都相交），由於是二次所以倍數為2，從而滿足與直線相切的非退化圓錐相同的交點條件。
據一般貝祖定理，5維空間中的5個一般二次曲面將有 個交點，其中的相關二次曲面不在一般位置上。必須要從32中減去31，將其歸入委羅內塞面，才能得到（幾何角度的）正確答案：1。這種將交點歸為「退化」情形的過程是典型的幾何「修正因子」。
希爾伯特第十五問題便是要克服這些干涉的明顯的任意性：這方面超出了舒伯特積分本身的基礎問題。
克萊門斯猜想
1984年，赫伯特·克萊門斯研究了5次3維流形 上的有理曲線計數，提出以下猜想：
- 正整數 ，則在一般5次3維流形 上只有有限多條度為 的有理曲線。
此猜想 的情形已有證明。
1991年，論文[4]從弦論角度討論了 中5次3維流形的鏡像對稱，給出了在所有 下 上度為 的有理曲線的數量。這之前代數幾何學家只能計算 的情況。
例子
代數幾何中，歷史上重要的枚舉幾何例子包括：
- 2 空間中4條一般直線相交的直線數
- 8 與3個一般圓相切的圓數（阿波羅尼奧斯問題）
- 27 光滑三次曲面上的直線數（喬治·薩蒙、阿瑟·凱萊）
- 2875 一般5次3維流形上的直線數
- 3264 與一般位置的5條平面圓錐相切的圓錐曲線數 (米歇爾·沙勒）
- 609250 一般5次3維流形上的圓錐曲線數
- 4407296 與8個一般二次曲面相切的圓錐曲線數Fulton (1984，p. 193)
- 666841088 3維空間中與9個一般位置的給定二次曲面相切的二次曲面數(Schubert 1879，p.106) (Fulton 1984，p. 193)
- 5819539783680 3維空間中與12個一般位置的給定二次曲面相切的扭曲三次曲面數(Schubert 1879，p.184) （S. Kleiman, S. A. Strømme & S. Xambó 1987）
參考文獻
- ^ Schubert, H. Kalkül der abzählenden Geometrie. 18791979.
- ^ Weil, Andre. Foundations of Algebraic Geometry. ISBN 9780821874622.
- ^ Fulton, William. 10.4. Intersection Theory. 1984. ISBN 0-387-12176-5.
- ^ * Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
- Kleiman, S.; Strømme, S. A.; Xambó, S., Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics, Space curves (Rocca di Papa, 1985), Lecture Notes in Math. 1266, Berlin: Springer: 156–180, 1987, ISBN 978-3-540-18020-3, MR 0908713, doi:10.1007/BFb0078183
- Schubert, Hermann, Kleiman, Steven L. , 編, Kalkül der abzählenden Geometrie, Reprint of the 1879 original, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979 [1879], ISBN 3-540-09233-1, MR 0555576 （德語）
外部連結
- Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will. Enumerative Algebraic Geometry of Conics. Amer. Math. Monthly. 2008, 115 (8): 701–7 [2023-11-26]. JSTOR 27642583. doi:10.1080/00029890.2008.11920584. （原始內容存檔於2023-12-01）.