柯尼格斯函數

數學中, 柯尼格斯函數是用於複分析動力系統中的一種函數。法國數學家加布里埃爾·澤維爾·保羅·科尼格斯於1884年引入了此函數,該函數作為複數單位圓盤內的單葉函數擴張,或單位圓盤內的映射組成的半群的擴張,給出一個規範表示。

柯尼希斯函數的存在性與唯一性

D為複數中的單位圓盤,設D上有全純函數 f固定點0,其中f不等於0且f不是D的自同構(即由SU(1,1)中矩陣定義的莫比烏斯變換)。

丹喬-沃爾夫定理英語Denjoy–Wolff theorem可知,f 使得每個由|z|<r表記的圓盤保持不變,且f的迭代一致緊密收斂到0:事實上,在0 < r < 1範圍內,對於|z | ≤ rM(r ) < 1,有:

 

此外,f '(0) = λ,其中0 < |λ| < 1.

Koenigs (1884)證明了,在D上可以定義證明唯一的全純函數h,稱為柯尼希斯函數,使得h(0) = 0, h '(0)=1,同時滿足施羅德方程英語Schröder's equation

 

函數h 是一系列歸一化迭代  緊空間上的一致收斂極限,.

此外,如f為單價,則h同理[1][2]

因此,若f(因此 h)為單價,D則可用開放領域U = h(D)識別。 受此共形識別影響,映射f轉換為乘以λ(即U上的膨脹)。

證明

  • 獨特性——若k是另一個解,一經分析,則足以證明k = h接近於0。令
 
接近0。遂H(0) =0,H'(0)=1 並且對於小|z |,
 
H代入冪級數,得出H(z) = z 接近0。故h = k接近0。
  • 存在——若 ,則依據施瓦茨引理
 
另一方面,
 
故依據魏爾施特拉斯判別法檢驗結果得出gn一致收斂於|z| ≤ r,因為
 
  • 單價——依據赫維茨定理,由於每個gn具有單價性和正規化兩項屬性(即固定0並在此有導數1),其極限h亦具有單價性。

引用

  1. ^ Carleson & Gamelin 1993,第28–32頁
  2. ^ Shapiro 1993,第90–93頁

參考文獻

  • Berkson, E.; Porta, H., Semigroups of analytic functions and composition operators, Michigan Math. J., 1978, 25: 101–115, doi:10.1307/mmj/1029002009 
  • Carleson, L.; Gamelin, T. D. W., Complex dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-97942-5 
  • Elin, M.; Shoikhet, D., Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Topics in Univalent Functions, Functional Equations and Semigroup Theory, Operator Theory: Advances and Applications 208, Springer, 2010, ISBN 978-3034605083 
  • Koenigs, G.P.X., Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. Sci. École Norm. Sup., 1884, 1: 2–41 
  • Kuczma, Marek. Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. 1968.  ASIN: B0006BTAC2
  • Shapiro, J. H., Composition operators and classical function theory, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94067-7 
  • Shoikhet, D., Semigroups in geometrical function theory, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 0-7923-7111-9