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格爾斯滕哈伯代數

格爾斯滕哈伯代數是Gerstenhaber在研究結合代數的形變時發現的。一個結合代數的形變跟它的Hochschild上復形有密切的關係，Gerstenhaber證明，Hochschild上復形實際上形成一個微分分次李代數，並且這個微分分次李代數完全控制了該結合代數的形變。Gerstenhaber的研究受到小平邦彥（Kodaira）-Spencer關於流形復結構形變研究的啟發，這些思想後來由Deligne和Kontsevich等人加以系統完成。

在下面後4個例子中，例2和例3是1990年代之前發現的，1993年，Deligne在給一些數學家的通信中猜測它們之間也許是有關係的，用數學語言表述，即：對任何一個結合代數，其Hochschild上復形是little disks operad的鏈(chain) operad上的代數。這就是著名的Deligne猜想，最後由Kontsevich-Soibelman[1]，McClure-Smith[2]，Tamarkin[3]和Voronov[4]等人解決。Deligne猜想的證明涉及到了很多高深的數學工具，而這些工具都與拓撲共形場論有着密切的聯繫，因而引起了很多人的興趣。

稍後，在1997年，Chas和Sullivan的研究論文發表了名為弦拓撲的論文[5]，發現了例5。他們的研究結果引起了數學家們很大的關注和進一步的研究，從而開闢了一門嶄新的學科。

最後，需要補充的是，關於Gerstenhaber代數的研究往往伴隨着Batalin-Vilkovisky代數（簡稱BV代數）的研究。BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數，往往由Gerstenhaber代數裡面的某種對稱性而得到，如[6][5]。

定義

設   是數域   上的一個分次向量空間。  上的一個格爾斯滕哈伯代數結構是三元組  ，滿足以下關係：

  1.   是  上的分次、交換、結合的代數；
  2.  是李括號次數為 -1 的分次李代數；
  3. 李括號對其兩個變元都是乘積   的導子，即對任給  ，
 

有些文獻也把格爾斯滕哈伯代數稱為辮代數（braid algebra）。

例子

下面是一些Gerstenhaber代數的例子，因為構造都比較複雜，因此只列出結果，有興趣的讀者可以參考所給文獻資料：

  1. 設 是一個李代數，記 為其所對應的鏈復形，則在其上有一個自然的Gerstenhaber代數結構，乘法由外積給出，李括號為從 上誘導的李括號給出（這是一個比較平凡的例子，因此一般人並不重點討論，但它在構造Gerstenhaber代數的同倫論中非常重要）；
  2. 設 是數域 上的結合代數，Gerstenhaber證明： 的霍赫希爾德上同調形成一個Gerstenhaber代數[7]；
  3. 記 為little disks operad，Cohen證明： 的同調群形成一個Gerstenhaber代數[8]；
  4. Lian和Zuckerman證明了，在弦理論的背景（background，指從弦理論裡面抽象出來的代數結構）中，存在一個Gerstenhaber代數結構[6]；
  5. 設 是一個緊緻光滑的流形， 是它的自由環路空間（free loop space）。Chas和Sullivan證明： 的同調群形成一個Gerstenhaber代數[5]。


參見

參考資料

  1. ^ Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  2. ^ McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
  3. ^ Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
  4. ^ Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
  6. ^ 6.0 6.1 Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
  7. ^ Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
  8. ^ Cohen, F.R., The homology of  -spaces, , in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.
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