格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理

代數幾何中,格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是關於相干層上同調的意義深遠的結果。它是關於複流形希策布魯赫-黎曼-羅赫定理的推廣,其又是對緊黎曼曲面線叢的經典黎曼-羅赫定理的推廣。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理
格羅滕迪克對格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的評價
領域代數幾何
最初證明者亞歷山大·格羅滕迪克
最初證明年1957
推廣阿蒂亞-辛格指標定理
可得結果希策布魯赫-黎曼-羅赫定理
曲面的黎曼-羅赫定理
黎曼-羅赫定理

黎曼-羅赫型定理將向量叢上同調歐拉示性數與其拓撲度,或更一般地與其(上)同調中的示性類或其代數類似物聯繫起來。經典的黎曼-羅赫定理針對的是曲線和線叢,而希策布魯赫-黎曼-羅赫定理將其推廣到流形上的向量叢。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理將這兩個定理置於兩個流形(或更一般的概形)之間態射的相對情形中,並將該定理叢關於單一叢的陳述變為適用於鏈復形的陳述。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理對阿蒂亞-辛格指標定理的發展影響深遠,反過來,格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的複分析類比也可以用族的指標定理來證明。1957年,亞歷山大·格羅滕迪克在一份後來出版的手稿中給出了首個證明。、[1]Armand Borel與讓-皮埃爾·塞爾撰寫並發表了他的證明(1958)。[2]後來,格羅滕迪克與合作者對證明進行了簡化與推廣。[3]

公式

X上的光滑擬射影概形凝聚層的有界復形的格羅滕迪克群 規範同構(canonically isomorphic)於秩有限向量叢的有界復形的格羅滕迪克群。利用這種同構,將陳示性陳類的有理組合)視作一種函子式變換:

 

其中 d維的X上的循環的周群,模去有理等價,以有理數張開。若X定義在複數上,則後一個群映射到拓撲上同調群

 

現在考慮光滑擬射影概形與 上的層 的有界復形之間的真射 

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理涉及前推映射

 

(高階直像的交替和)與前推

 

由公式

 

其中 X(的切叢)的Todd屬。因此,定理給出了度量上述前推的缺乏交換性的方法,並表明所需的修正函子只取決於XY。事實上,由於Todd屬在正合序列中是函子、乘法的,可以將格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式重寫為

 

其中 f的相對切層,定義為元素 。例如,當f光滑態射時, 就只是向量叢,即沿f的纖維的切叢。

Navarro & Navarro (2017)運用A1同倫論,將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到f是兩光滑概形間的真映射

泛化與特化

考慮組合 的適當推廣,可將定理推廣到非光滑情況;考慮具有緊支集的上同調,可將定理推廣到非真(non-proper)情況。

算術黎曼-羅赫定理將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到算術概形(arithmetic scheme)。

希策布魯赫-黎曼-羅赫定理(本質上)是Y為點、域為複數域的特例。

有向上同調論的黎曼-羅赫定理由Ivan Panin與Alexander Smirnov提出。[4]它涉及代數有向上同調論之間的乘法(如代數配邊)。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是這結果的特殊情況,這時自然會出現陳示性。[5]

例子

曲線上的向量叢

 的光滑射影曲線上秩為 、度為 (定義為其行列式;或等價地,其第一陳類的度)的向量叢 有類似於線叢的黎曼-羅赫形式的公式。若取點  ,則格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式可理解為

 

於是

 [6]

此式也適於秩為 、度為 的相干層。

光滑真射

格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式的優點之一是可解釋為希策布魯赫-黎曼-羅赫公式的相對版本。例如,光滑態射 的纖維都是等維的(在基變為 時作為拓撲空間是同構的)。在模理論中考慮由模空間 對光滑真空間進行參數化時,這事實非常好用。例如,戴維·芒福德用它推導了代數曲線模空間上的周環關係。[7]

曲線的模

 屬曲線(且無標記點)的模疊 ,有通用曲線 ,其中 是屬 曲線和一個標記點的模疊。然後定義重言類

 

其中  是相關的對偶化層。注意 在點 上的纖維,這就是對偶化層 。可利用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理找到光滑軌跡的周環 上的 之和[7] (corollary 6.2),從而找到描述   間的關係。由於 是光滑德利涅-芒福德疊,可考慮由概形 的覆蓋,對某個有限群 可給出 。對 應用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理,可得

 

因為

 

由上式可知

 

這樣, 的計算可以進一步減少。在偶數維 

 

另外在1維,

 

其中 是邊界上的一個類。 時,在光滑軌跡 上有如下關係

 

可通過分析 的陳示性推得。

閉嵌入

閉嵌入 也可用格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式描述,其顯示了公式成立的另一種非平凡情形。[8] 維光滑簇 及余維為 的子簇 ,有

 

由短正合序列

 ,

有下式

 

for the ideal sheaf since  .

應用

模空間的准射影性

過兩天都是-黎曼-羅赫公式可用於證明粗糙模空間 (如有尖代數曲線的模空間 )可嵌入到射影空間,因此是准射影簇。這可以通過觀察 上的規範相伴層(canonically associated sheaf)、研究相伴線叢的度實現。例如, [9]有曲線族

 

有截面

 

對應標記點。由於每根纖維都有規範叢 ,有相伴線叢    於是

 

豐沛線叢[9]:209,因此粗糙模空間 是准射影的。

歷史

亞歷山大·格羅滕迪克的黎曼-羅赫定理最初是在1956–1957年左右寫給讓-皮埃爾·塞爾的一封信中提出的。1957年,在第一屆波恩工作會議(Bonn Arbeitstagung)上公開發表,隨後塞爾和Armand Borel在普林斯頓大學組織了一次研討會來理解它。最後發表的論文實際上就是Borel–塞爾的論述。

格羅滕迪克方法的意義在於以下幾點。首先,格羅滕迪克改變了陳述本身:人們當時認為定理是關於代數簇的,而格羅滕迪克指出其實際上是簇間態射的定理。他找到了正確的推廣,使證明變得簡單,而結論變得更寬泛。簡言之,格羅滕迪克將一種強範疇方法一項艱巨的分析。此外,如上所述,格羅滕迪克引入了K-群,為代數K-理論鋪平了道路。

另見

注釋

  1. ^ A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch (1957). Published in SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
  2. ^ Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre. Le théorème de Riemann-Roch. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1958, 86: 97–136 [2023-11-21]. MR 0116022. doi:10.24033/bsmf.1500 . (原始內容存檔於2023-11-29). 
  3. ^ SGA 6, Springer-Verlag (1971).
  4. ^ Panin, Ivan; Smirnov, Alexander. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. 2002 [2023-11-21]. (原始內容存檔於2016-12-07). 
  5. ^ Morel, Fabien; Levine, Marc, Algebraic cobordism (PDF), Springer, [2023-11-21], (原始內容存檔 (PDF)於2022-01-21) , see 4.2.10 and 4.2.11
  6. ^ Morrison; Harris. Moduli of curves. : 154. 
  7. ^ 7.0 7.1 Mumford, David. Towards an Enumerative Geometry of the Moduli Space of Curves. Arithmetic and Geometry. 1983: 271–328 [2023-11-21]. ISBN 978-0-8176-3133-8. doi:10.1007/978-1-4757-9286-7_12. (原始內容存檔於2023-11-21). 
  8. ^ Fulton. Intersection Theory. : 297. 
  9. ^ 9.0 9.1 Knudsen, Finn F. The projectivity of the moduli space of stable curves, III: The line bundles on  , and a proof of the projectivity of   in characteristic 0.. Mathematica Scandinavica. 1983-12-01, 52: 200–212. ISSN 1903-1807. doi:10.7146/math.scand.a-12002  (英語). 

參考文獻

外部連結