梅滕斯猜想

梅滕斯猜想數論中的一個猜想,是有關數論中梅滕斯函數上下界的猜想,由湯姆斯·斯蒂爾吉斯在一封於1885年寫給夏爾·埃爾米特弗朗茨·梅滕斯(Franz Mertens)的信中提出。這一猜想如果成立的話可以推出黎曼猜想,不過已被安德魯·奧德里茲科英語Andrew Odlyzko赫爾曼·特里爾英語Herman te Riele於1985年證否。

圖示為梅滕斯函數的前10000項與默滕斯猜想中的界限。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後,猜想的絕對值恆小於,此猜想被安德魯·奧德里茲科(Andrew Odlyzko)與赫爾曼·特里爾(Herman te Riele)於1985年證否

定義

數論中,有梅滕斯函數

 

其中, 表示默比烏斯函數。則梅滕斯猜想是指,對所有 ,有

 

猜想的證否

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果,也就是 有界,但其結果沒有發表[1](若用 的方式表示,梅滕斯猜想是指 

安德魯·奧德里茲科英語Andrew Odlyzko赫爾曼·特里爾英語Herman te Riele在1985年證否了梅滕斯猜想,用的是LLL格縮減算法英語Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm[2][3]

  and  

之後也證實了第一個反例小於  [4],大於1016[5],後來的上限已降到 [6]或近似 ,但還沒找到確切的反例數值。

參考資料

  1. ^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (編). The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics. New York, NY: 施普林格科學+商業媒體. 2007: 69. ISBN 978-0-387-72125-5. Zbl 1132.11047. 
  2. ^ Odlyzko & te Riele (1985)
  3. ^ Sandor et al (2006) pp.188–189
  4. ^ Pintz (1987)
  5. ^ Hurst, Greg. Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture. 2016. arXiv:1610.08551  [math.NT]. 
  6. ^ Kotnik and Te Riele (2006)

參考文獻