梯度定理

梯度定理（英語：gradient theorem），也叫線積分基本定理，是說標量場梯度沿曲線的積分可用標量場在該曲線兩端的值之差來計算。

設函數$\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$，則

$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

梯度定理把微積分基本定理從直線數軸推廣到平面、空間，乃至一般的$n$維空間中的曲線。

梯度定理表明梯度場的曲線積分是路徑無關的，這是物理學中「保守力」的定義方式之一。如果$\varphi$是位勢，則$\nabla \varphi$就是保守向量場。上面的公式表明：保守力做功只和物體運動路徑的端點有關，而與路徑本身無關。

梯度定理有個逆定理，是說任何路徑無關的向量場都可以表示為某個標量場的梯度。這個逆定理和原定理一樣在純粹和應用數學中有很多推論和應用。

證明

設$\varphi$是個從$\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$中的開集$U$到$\scriptstyle \mathbb {R}$的可微函數，設$r$是閉區間$[a,b]$到$U$的可微函數，那麼由多元複合函數求導法則，複合函數$\varphi \circ r$在閉區間$[a,b]$上可微，並且對所有$t\in [a,b]$，

${\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

這裡$\cdot$是$\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$上的內積。

$\varphi$的定義域$U$中含有從p到q的可微曲線γ，定向為從p至q。設${\mathbf {r} }(t)$是γ的參數化（其中$t\in [a,b]$），那麼上面的式子說明

${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))dt=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\end{aligned}}$

第一個等式是根據曲線積分的定義，第三個等式用了微積分基本定理。

梯度定理的逆定理

梯度定理說明如果一個向量場$F$是某個標量函數的梯度（即保守場），則$F$是路徑無關的（即$F$沿分段可微的曲線的積分只和路徑的端點有關）。這個定理有個強大的逆定理，是說若$F$是個路徑無關的向量場，則它是某個標量函數的梯度。容易證明一個向量場是路徑無關的當且僅當它沿任何閉曲線積分為零，因此梯度定理的逆定理是說如果$F$沿定義域中的任何閉曲線積分為零，則它是某標量函數的梯度。