梯形公式

公式

梯形公式數學數值積分的基礎公式之一:

線性函數(紅色)會作用估算函數 (藍色)。

公式由來

積分中值定理可得

 

但由於ξ其值一般難於確定,故難以準確算出 的值。

如果用兩端點  算術平均值估算 ,有

 

這就是梯形公式。

類似地,如果用區間中點 其高度 取代 ,從而有中矩形公式

 

複合求積公式

每一區間相同

 
梯形公式的示意圖(長度相同的區間)。

為了計算出更加準確的定積分,可以把積分的區間 分成 份,當中 趨向無限,分割出的每一個區間長度必定要是一樣的,然後就可以應用梯形公式:

 

亦可以寫成:

 

當中

 

其餘項為

 

當區間的長度並不相同時,這一條公式便不能使用。

每一區間並不相同

 
梯形公式的示意圖(長度不相同的區間)

給予 以及 定積分就可以估算成

 ,

當中

 .

誤差分析

應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異:

 

如果  中存在一個實數 ,那麼

 

對於中矩形公式,其誤差類似的有:

 

如果被積函數是一個凸函數(亦即有一個正值二階導數),那麼誤差會是一個負數,也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達:梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地,如果被積函數是一個凹函數,梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。

一般而言有數種方法可以去分析誤差,例如是:傅利葉級數

 的情況下,趨向性的估計誤差是:

 

參考文獻

  • 《數值分析》,清華大學出版社,李慶揚等編,書號ISBN 978-7-302-18565-9