歐拉正合列

在代數幾何學中，歐拉正合列是環上的射影空間層構成的一個正合列。歐拉正合列實質上說明了凱勒微分層穩定同構於塞爾扭層的對偶的n重和。

歐拉正合列可以被推廣到射影叢或者格拉斯曼叢上的情形。

正式表述

對於一個環$A$，一個層的短正合列

$0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0$

稱其為歐拉正合列。

幾何表述

假設環 $A$ 是一個域，記作$k$， 則歐拉正合列等同於

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0$

其中最後一個非零項是切層。

設$V$是$k$上的n維向量空間，於是有

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\xrightarrow {f} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V\xrightarrow {g} {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0$

這個短正合列可以被這樣簡單理解：中間的那一項是$V$上的一次齊次向量場的層。 這個層存在一個重要的截面：歐拉向量場。歐拉向量場可以通過把向量空間上的一個點與某個切向量唯一聯繫起來而得到。這個向量場在零次齊次函數上為0，因而在位似變換下不變。

一個定義在 $\mathbb {P} (V)$內的某個開集上的函數通過拉回局部誘導了一個$V$上的零次齊次函數。將這樣的函數乘上歐拉向量場，能得到一次齊次向量場，這即是態射$f$的定義。

對於態射$g$，回憶 $\mathbb {P} (V)$內某個開集上的一個向量場可以被定義為這個開集上的函數的導子。 在拉回到V之後，它等價於一個保持零次齊次函數的U的原像。於是能以相同的方式得到 $\mathbb {P} (V)$上的任意一個向量場。

同時，可以驗證 $\mathrm {Im} \ f=\mathrm {Ker} \ g$，該序列正合。

射影空間的典範線叢

在取外積的冪之後，能發現一個射影空間的典範線叢由

$\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1))$

給出。事實上，射影空間是Fano簇，這是因為該線叢是反豐沛的，且沒有非零全局截面，於是線叢的幾何虧格為0。

利用歐拉正合列能夠發現這一點，同時注意對於任何形如 $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$ 的短正合列，有行列式公式

${\text{det}}({\mathcal {E}})={\text{det}}({\mathcal {E}}')\otimes {\text{det}}({\mathcal {E}}'')$

用於陳類的計算

歐拉正合列可以被用於計算射影空間的陳類。當給定一個凝聚層的短正合列

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$,

利用公式 $c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$，能計算 ${\mathcal {E}}$ 的陳類 。舉例而言，在 $\mathbb {P} ^{2}$上，

${\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}\end{aligned}}$

其中 $[H]$表示周環$A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})$ 里的超平面類。利用短正合列

$0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0$

使用相同的公式，可得到

${\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}\\\end{aligned}}$