歐米加常數

歐米加常數是一個數學常數，定義為：

\Omega \,\exp(\Omega )=1.\,

它是W(1)的值，其中W是朗伯W函數。

Ω的值大約為0.5671432904097838729999686622 （OEIS數列A030178）。它具有以下的性質：

e^{-\Omega }=\Omega ,\,

或

\ln(1/\Omega )=\Omega .

我們可以用迭代的方法來計算Ω，從Ω₀開始，用下面的數列進行迭代：

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,

當n→∞時，這個數列收斂於Ω。

無理數和超越數

我們可以用e是超越數的事實來證明Ω是無理數。如果Ω是有理數，則存在整數p和q，使得

{\frac {p}{q}}=\Omega

所以

1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}

e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}

這樣，e就是p次代數數。但是，e實際上是超越數，所以Ω一定是無理數。

Ω實際上也是一個超越數，這可以由林德曼-魏爾斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代數數，exp(Ω)將會是超越數，exp⁻¹(Ω)也是超越數。但這與它是代數數的假設矛盾。