法圖引理

測度論中,法圖引理說明了一個函數列的下極限積分(在勒貝格意義上)和其積分的下極限的不等關係。法圖引理的名稱來源於法國數學家皮埃爾·法圖(Pierre Fatou),被用來證明測度論中的法圖-勒貝格定理勒貝格控制收斂定理

敘述

 為一個測度空間 是一個實值的可測正值函數列。那麼:

 

其中的函數極限是在逐點收斂的意義上的極限,函數的取值和積分可以是無窮大。

證明

定理的證明基於單調收斂定理(非常容易證明)。設 為函數列 下極限。對每個正整數 ,逐點定義下極限函數:

 

於是函數列 單調遞增並趨於 

任意 ,我們有 ,因此

 

於是

 

據此,由單調收斂定理以及下極限的定義,就有:

 

反向法圖引理

 測度空間 中的一列可測函數,函數的值域為擴展實數(包括無窮大)。如果存在一個在  上可積的正值函數 ,使得對所有的 都有 ,那麼

 

這裡 只需弱可積,即 

證明:對函數列 應用法圖引理即可。

推廣

推廣到任意實值函數

法圖引理不僅對取正值的函數列成立,在一定限制條件下,可以擴展到任意的實值函數。令 測度空間 中的一列可測函數,函數的值域為擴展實數(包括無窮大)。如果存在一個在 上可積的正值函數 ,使得對所有的 都有 ,那麼

證明:對函數列 應用法圖引理即可。

逐點收斂

在以上的條件下,如果函數列在 μ-幾乎處處逐點收斂到一個函數 ,那麼

 

證明: 是函數列的極限,因此自然是下極限。此外,零測集上的差異對於積分值沒有影響。

依測度收斂

如果函數列在 依測度收斂 ,那麼上面的命題仍然成立。

證明:存在 的一個子列使得

 

這個子列仍然依測度收斂到 ,於是又存在這個子列的一個子列在 μ-幾乎處處逐點收斂 ,於是命題成立。

外部連結

參考來源

  • H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.