波恩方程

波恩方程（英語：Born equation）可用於估計離子溶劑化時靜電成分的吉布斯自由能。它是一種將溶劑視為連續電介質的靜電模型（因此它是稱為連續溶劑化方法的一類方法中的一員）。它是由馬克斯·玻恩推導出來的。

$\Delta G=-{\frac {N_{A}z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}\right)$

其中：

• N_A = 阿伏伽德羅常數
• z = 離子電荷
• e = 元電荷，1.6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = 真空介電常數
• r₀ =有效離子半徑
• ε_r =溶劑的介電常數

推導

儲存於連續電荷分布的能量 U 為：

$U={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\int |{\bf {E}}|^{2}\mathrm {d} V$

已知介電常數為 $\varepsilon _{r}$ 的介質中離子形成的電場強度 $|{\bf {E}}|={\frac {ze}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r^{2}}}$ 和體積微元 $\mathrm {d} V$ 可以表示為 $\mathrm {d} V=4\pi r^{2}\mathrm {d} r$ ，能量 $U$ 可以寫成：

$U={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\int _{r_{0}}^{\infty }\left({\frac {ze}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r^{2}}}\right)^{2}4\pi r^{2}\mathrm {d} r={\frac {z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r_{0}}}$

因此，離子從氣相（$\varepsilon _{r}=1$）到介電常數為 $\varepsilon _{r}$ 介質中的溶劑化能量為：

${\frac {\Delta G}{N_{A}}}=U(\varepsilon _{r})-U(\varepsilon _{r}=1)=-{\frac {z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}\right)$

外部連結

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