抽象代數中,環論(英語:Ring Theory)是針對一種稱為代數結構之研究,環類似可交換群,有定義運算「+」,此外又定義另一種運算「·」(此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法,但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質)。環論研究環的結構、環的代數表現方式英語representation of an algebra(或稱為modules英語module (ring theory))、特殊的環(例如群環除環泛包絡代數等),也包括一些和環論有關的定理以及其應用,例如同調代數、及PI環英語PI ring

交換環是指其中運算「·」符合交換律的環,本身比較容易理解。代數幾何代數數論中有許多交換環的例子,也帶動了交換環理論的發展,這部份後來稱為交換代數,是現代數學中的主要領域之一。代數幾何、代數數論及交換代數在本質上連結的非常緊密,因此有時很難去區分某特定數學原理屬於哪個領域。例如希爾伯特零點定理是代數幾何的基本定理,但是陳述及證明時都是以交換代數的方式進行。而費馬大定理問題的形式是以基本的算術方式(屬於交換代數的一部份)呈現,但其證明用到很深的代數幾何及代數數論。

非交換環英語Noncommutative ring是指其中運算「·」不符合交換律的環,會有一些和交換環不同的的特殊特性。非交換環此一數學概念本身也在進展,而近來的也有一些研究將特定的非交換環以幾何的方式表示,例如在(不存在的)非交換空間下的函數環。這種趨勢自1980年代開始發展,也和量子群的出現同時。目前對非交換環已有多一些的認識,尤其是非交換的諾特環[1]

在「環 (代數)」條目中,有環的定義以及其基本的概念及性質。

一些有關的定理

一般:

結構定理:

腳註

  1. ^ Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2