離散時間與連續時間

數學動力學中，離散時間與連續時間是對隨時間變化的變量進行建模的兩種可選框架。

離散時間

離散採樣信號

離散時間將變量值看做是出現在不同的、獨立的「時間點」上，或等同於在每個非零時間段內保持不變，即將時間看做離散變量。因此，從一個時間段移動到下一個時間段時，非時間變量從一個值跳到另一個值。這種框架下，每個相關變量在每個時間段取1次值，兩時間段之間的測量次數有限，通常在時間變量的連續整數值上進行。

離散信號或離散時間信號是由一系列數量組成的時間序列。不同於連續時間信號，其不是連續參數的函數，不過也可能是從連續時間信號中採樣所得，間隔均勻的時長採樣的話會有相關聯的採樣率。

離散時間信號有多種來源，可以分為兩類：

• 從常值或變值的模擬信號取值。此過程稱作採樣。
• 觀測離散時間過程，如某經濟指標的周峰值。

連續時間

相對地，連續時間將變量看作只有在無窮短時間段內才有特定值。任意兩時點間，又有無窮多時點。時間變量在整條實數線上取值，或在取決於具體應用的子集上取值，如非負實數。這時，時間被視作連續變量。

連續信號或連續時間信號是一種變化的量 (物理)（信號），其定義域（通常是時間）是連續統（如實數的連通區間）。即，函數的定義域是不可數集，而函數本身不必連續。相對地，離散時間信號具有可數定義域，如自然數。

連續振幅、連續時間的信號常常稱作模擬信號，在每一瞬間都有一定值。與溫度、壓力、聲音等物理量成比例的電信號一般是連續信號。連續信號的其他例子有正弦波、餘弦波、三角波等等。

信號的定義域可能是有限的也可能不是，定義域到信號值有一個泛函映射。時間變量的連續性與實數密度定律有關，意味着可在任意時間點找到信號值。無限信號的一個典型例子是

$f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R}$

其對應的有限時長對應信號可以是

$f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]$，否則$f(t)=0$。

有限/無限時長信號值可能有限也可能無限，例如

$f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]$，否則$f(t)=0$。

這是有限時長信號，但在$t=0$時的值是無限的。

很多學科中，約定俗成的做法是連續信號必須始終有限，這對物理信號來說更有意義。 某些情況下，只要信號在任意有限區間內可積，那麼無窮奇點也可以接受（如$t^{-1}$信號在無窮大時不可積，但$t^{-2}$可積）。

任何模擬信號本質上都是連續的。用於數字信號處理的離散時間信號可從連續信號採樣與量化得到。

連續信號也可用時間以外的自變量來定義，常見的如空間，在2維的圖像處理中尤其有用。

相關背景

離散時間常用於實證度量情景，因為通常只能按順序測量變量。例如，雖然經濟活動實際上是持續進行的，不存在經濟活動完全停頓的時刻，但只能對經濟活動進行離散測量。因此，諸如國內生產總值之類數據只能離散地顯示一系列季度值。

試圖用其他變量和/或變量的先前值解釋時，會使用時間序列或回歸分析方法，當中變量用下標表示觀測時段。例如$y_{t}$指在t時間段內觀察到的收入，$y_{3}$是第三個時間段內觀察到的收入。

此外，建立理論以解釋離散時間內觀察到的現象時，為便於建立時間序列或回歸模型，通常用離散時間表示理論。

另一方面，連續時間理論模型往往在數學上更容易解，而且物理學等領域中，精確的描述往往需要連續時間。當中，變量y在未指定時間點的值表為$y(t)$，含義明確則簡單表為y。

方程類型

離散時間

離散時間使用差分方程，或稱為遞推關係。例如邏輯斯諦映射或邏輯斯諦方程

$x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),$

當中r是範圍在2到4的參數，x是範圍在0到1的變量，其在t時期的值非線性地影響t+1時期的值。例如，取$r=4$、$x_{1}=1/3$，則對於t=1有$x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$，對於t=2有$x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$。

另一個例子是根據產品的非零超額需求，調整價格P，模型為

$P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)$

其中$\delta$是小於等於1的正調整速度參數，$f$是超額需求函數。

連續時間

連續時間使用微分方程。例如，針對產品非零超額需求，調整價格P，可以用連續時間建模為

${\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)$

左式是價格對時間的一階導數（即價格變化率），$\lambda$是調整速度參數，可以是任意有限正數，$f$是超額需求函數。

圖形描述

離散時間中測量的變量可繪製為階躍函數，當中每個時間段在橫軸上都有等長區域，測量變量在單個區域內保持不變，函數圖像將是一系列水平階梯。另一種方法是將時間段視作獨立的時間點，通常是水平軸上的整數值，然後將測量變量繪為時間軸點上方的高度，函數圖像將是一組點。 連續時間中測量的變量可繪製為連續函數，因為時間域一般認為是整個實數軸或至少是其上某些連通部分。

相關條目

• 混疊
• 伯努利過程
• 數碼資料
• 離散微積分
• 離散系統
• 離散化
• 歸一化頻率
• 採樣定理
• 時標微積分

參考文獻

• Gershenfeld, Neil A. The Nature of mathematical Modeling. Cambridge University Press. 1999. ISBN 0-521-57095-6. 

• Wagner, Thomas Charles Gordon. Analytical transients. Wiley. 1959.