調和測度

數學中,調和測度調和函數理論中出現的一個概念。給定了一個解析函數在一個區域 D 邊界上的,能用調和測度去估計函數在區域內部的模。在一個非常相關的領域,一個伊藤擴散 X 的調和測度描繪了 X 撞擊 D 邊界的分布。

定義

Dn-歐幾里得空間中一個有界開區域n ≥ 2,記 ∂DD 的邊界。任何連續函數 f : ∂D → R 惟一確定一個調和函數 Hf 滿足狄利克雷問題

 

如果點 x ∈ D 取定,Hf(x) 確定了 ∂D 上的一個非負拉東測度 ω(xD):

 

這個測度 ω(xD) 稱為關於區域 D 和點 x調和測度

性質

  • 對任何 ∂D 中的波萊爾集 E ,調和測度 ω(xD)(E) 等於Direchlet 問題中邊界函數取 E示性函數的解在 x 點的取值。故ω(xD)(E) 是 x 的調和函數。
  • 對取定的 DE ⊆ ∂Dω(xD)(E) 是x ∈ D 的一個調和函數,且
 
 
從而,對任何 xDω(xD) 是 ∂D 上的概率測度
  • 只要在 D 中有一點 x 滿足 ω(xD)(E) = 0 ,那麼根據極小值原理ω(xD)(E) 對任何 x 恆等於 0,在這種情況下稱 E 是一個零調和測度集。進一步,如果 Rn緊集 K 關於某個區域 D 的調和測度為 0,那麼 K 關於任何區域的調和測度都是 0,這種情況當且僅當 K調和體積為 0。

舉例和應用

要計算出一個一般區域的調和測度是困難的,但是對於平面 R2 上一些常見的區域的邊界上某些子集,我們可以直接寫出調和測度。

  • D 為圓域,E ⊆ ∂D 是長為 的圓弧,設 θ(x) 為點 xD 對圓弧 E視角,則:
 
  • D 為以原點為中心內外半徑rR圓環域,E1E2 分別為內外邊界,則對所有 xD 有:
 
 

若已知調和函數的模在邊界上的估計,利用調和測度就可得到內部模的一個估計。譬如,如果 ∂D 分為 E1E2 兩部分(多部分一樣),設調和函數 f 的模長在 E1E2 上分別有界 M1M2,那麼 fD 內部 x 點有界:

 

DE1E2 為第二個例子,取 f(x) = |log(h(x))|,這裡 h(x) 是環域上一個全純函數,我們便可得到阿達馬三圓定理

擴散的調和測度

考慮始於區域 D 內部某一點 x 的一個取 Rn 值的 Itō 擴散 X,具有規律 Px。假設我們要知道 X 逃逸出 D 的點分布。譬如,實數軸上開始於 0 點,位於區間 (−1, +1) 的標準布朗運動,在 −1 的概率是 1/2,在 +1 的概率是 1/2,所以 Bτ(−1, +1) 是集合{−1, +1} 上的一致分布

一般的,如果 G 緊嵌入 Rn,那麼 XG 的 ∂G調和測度(或撞擊分布)為測度 μGx,定義為:

 

x ∈ GF ⊆ ∂G

回到首先布朗運動的例子,我們可以證明如果 B 是一個 Rn 內開始於 x ∈ Rn 的布朗運動,且 D ⊂ Rn 是一個以 x 為中心的開球體,那麼 B 在 ∂D 的調和測度在 Dx 的所有旋轉下是不變的,從而調和測度等於 ∂D 上的曲面測度

參考文獻