調和測度
數學中,調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。給定了一個解析函數的模在一個區域 D 邊界上的界,能用調和測度去估計函數在區域內部的模。在一個非常相關的領域,一個伊藤擴散 X 的調和測度描繪了 X 撞擊 D 邊界的分布。
定義
設 D 是 n-維歐幾里得空間中一個有界開區域,n ≥ 2,記 ∂D 為 D 的邊界。任何連續函數 f : ∂D → R 惟一確定一個調和函數 Hf 滿足狄利克雷問題:
如果點 x ∈ D 取定,Hf(x) 確定了 ∂D 上的一個非負拉東測度 ω(x, D):
這個測度 ω(x, D) 稱為關於區域 D 和點 x 的調和測度。
性質
- 對取定的 D 和 E ⊆ ∂D, ω(x, D)(E) 是x ∈ D 的一個調和函數,且
- 從而,對任何 x 和 D,ω(x, D) 是 ∂D 上的概率測度。
舉例和應用
要計算出一個一般區域的調和測度是困難的,但是對於平面 R2 上一些常見的區域的邊界上某些子集,我們可以直接寫出調和測度。
- D 為圓域,E ⊆ ∂D 是長為 2α 的圓弧,設 θ(x) 為點 x ∈ D 對圓弧 E 的視角,則:
若已知調和函數的模在邊界上的估計,利用調和測度就可得到內部模的一個估計。譬如,如果 ∂D 分為 E1 和 E2 兩部分(多部分一樣),設調和函數 f 的模長在 E1、E2 上分別有界 M1、M2,那麼 f 在 D 內部 x 點有界:
設 D、E1、E2 為第二個例子,取 f(x) = |log(h(x))|,這裡 h(x) 是環域上一個全純函數,我們便可得到阿達馬的三圓定理。
擴散的調和測度
考慮始於區域 D 內部某一點 x 的一個取 Rn 值的 Itō 擴散 X,具有規律 Px。假設我們要知道 X 逃逸出 D 的點分布。譬如,實數軸上開始於 0 點,位於區間 (−1, +1) 的標準布朗運動,在 −1 的概率是 1/2,在 +1 的概率是 1/2,所以 Bτ(−1, +1) 是集合{−1, +1} 上的一致分布。
一般的,如果 G 緊嵌入 Rn,那麼 X 在 G 的 ∂G的調和測度(或撞擊分布)為測度 μGx,定義為:
對 x ∈ G 和 F ⊆ ∂G。
回到首先布朗運動的例子,我們可以證明如果 B 是一個 Rn 內開始於 x ∈ Rn 的布朗運動,且 D ⊂ Rn 是一個以 x 為中心的開球體,那麼 B 在 ∂D 的調和測度在 D 繞 x 的所有旋轉下是不變的,從而調和測度等於 ∂D 上的曲面測度。
參考文獻
- Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth edition. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1. MR2001996 (See Sections 7, 8 and 9)
- Ahlfors, Lars V. Complex Analysis Third edition. Beijing: China Machine Press. 2004. ISBN 711113416 請檢查
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值 (幫助). (See Sections 6.5.1)
- Solomentsev, E.D. (2001), Harmonic measure(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104