烏拉螺旋

質數螺旋(Ulam spiral)是一個簡單的展示出素數的一定明顯規律的結構,同時它指出一些二次多項式有着大量生成素數(富素數)的特性。該圖形是由數學家斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆在1963年,在一個科學會議上聽取一個「又長又無聊的」報告[1]時信手塗鴉所發現的。不久以後,作為一個計算機圖形的早期應用,烏拉姆與他的協作者邁倫·斯坦(Myron Stein)和馬克·韋爾斯(Mark Wells)在洛斯阿拉莫斯國家實驗室使用了MANIAC II英語MANIAC II代碼生成了該65000以內的素數構成的螺旋[2][1][3]。1964年3月,馬丁·加德納 在他出版的書籍——《趣味數學》上寫了一篇關於質數螺旋的內容[1]。質數螺旋之後也出現在了《科學美國人》的雜誌首頁上。

該圖是200×200個數字的質數螺旋。其中黑點部分指的是素數。水平線、垂直線和對角線都有一個清晰可見的大素數密度。

在《科學美國人》雜誌的附錄中[4]提及到,加德納指出,爬蟲兩棲類學者勞倫斯·門羅·克勞伯英語Laurence Monroe Klauber在1932年——在烏拉姆的發現之前30多年——的美國數學學會上所做的報告中,便有為了研究富素數二次多項式而將素數排列為二維結構的例子。與烏拉姆不同的是,克勞伯的數列不是以正方形結構,而是用三角形來寫的。[5]

構造

烏拉姆是寫下了一個正方形的數組來構造了這個螺旋數組,從1開始且開始按照這個螺旋規律:

 
從1至49的素數位置

他然後圈起了所有的素數(如下圖):

 
小型質數螺旋表

令他吃驚的是這堆圈起來的數字趨向於與對角線排成一行。在200×200的烏拉姆素數表當中(上圖),其中對角線都是清晰可見且完成整一個表,而且水平線和垂直線都是有證明顯著突出素數的樣子。

在這堆素數表中,除了2這個偶數是素數外,其它都是由奇數組成的。在質數螺旋里,相鄰的對角線都是與每個奇數相交的,毫不奇怪地所有素數都是躺在該螺旋的每個相鄰的對角線中。這是從1開始以來,素數有更高的趨勢躺在更多的對角線上。

 
以圖表畫出的更多數字

測試到現在為止,都證明出對角線都是以素數組成(如右圖)。雖然這個數列看起來好像出現即使不是1的中間數字(實際上那個數字>1)。這也暗示着有許多的整數常量「b」和「c」就得出以下公式:

 

當數列n每次增加1,一堆的素數就會與更多的素數將會對照出來。

附註

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Gardner 1964,第122頁.
  2. ^ Stein, Ulam & Wells 1964,第520頁.
  3. ^ Hoffman 1988,第41頁.
  4. ^ Gardner 1971,第88頁.
  5. ^ Guide to the Martin Gardner papers, The Online Archive of California: 155, 2009 [2014-01-11], (原始內容存檔於2020-08-14) 

參考資料

  • Gardner, M., Mathematical Games: The Remarkable Lore of the Prime Number, Scientific American, March 1964, 210: 120–128, doi:10.1038/scientificamerican0364-120 .
  • Gardner, M., Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Diversions from Scientific American, University of Chicago Press, 1971, ISBN 978-0-226-28250-3 .
  • Hardy, G. H.; Littlewood, J. E., Some Problems of 'Partitio Numerorum'; III: On the Expression of a Number as a Sum of Primes, Acta Mathematica, 1923, 44: 1–70, doi:10.1007/BF02403921   .
  • Hoffman, Paul, Archimedes' Revenge: The Joys and Perils of Mathematics, New York: Fawcett Colombine, 1988, ISBN 0-449-00089-3 .
  • Stein, M. L.; Ulam, S. M.; Wells, M. B., A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1964, 71 (5): 516–520, JSTOR 2312588, doi:10.2307/2312588 .
  • Stein, M.; Ulam, S. M., An Observation on the Distribution of Primes, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1967, 74 (1): 43–44, JSTOR 2314055, doi:10.2307/2314055 .

外部連結