赫爾德不等式

赫爾德不等式數學分析的一條不等式,取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式:

為測度空間,,及,設內,內。則內,且有

等號當且僅當幾乎處處)線性相關時取得,即有常數使得對幾乎所有成立。

取作附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(或複數,有

我們稱pq互為赫爾德共軛

若取自然數集附計數測度,便得與上類似的無窮級數不等式。

,便得到柯西-施瓦茨不等式

赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式閔可夫斯基不等式,和證明空間是空間的對偶

備註

  • 在赫爾德共軛的定義中,1/∞意味着零。
  • 如果1 ≤ pq < ∞,那麼||f ||p和||g||q表示(可能無窮的)表達式:
    以及    
  • 如果p = ∞,那麼||f ||表示|f |的本性上確界,||g||也類似。
  • 在赫爾德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞,則得出 ∞。

證明

赫爾德不等式有許多證明,主要的想法是楊氏不等式

如果||f ||p = 0,那麼f μ-幾乎處處為零,且乘積fg μ-幾乎處處為零,因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q = 0也是這樣。因此,我們可以假設||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那麼不等式的右端為無窮大。因此,我們可以假設||f ||p和||g||q位於(0,∞)內。

如果p = ∞且q = 1,那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f || |g|,不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞,情況也類似。因此,我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。

分別用fg除||f ||p||g||q,我們可以假設:

 

我們現在使用楊氏不等式:

 

對於所有非負的ab,當且僅當ap = bq時等式成立。因此:

 

兩邊積分,得:

 

這便證明了赫爾德不等式。

p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設下,等式成立當且僅當幾乎處處有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位於(0,∞)內,那麼赫爾德不等式變為等式,當且僅當存在αβ > 0(即α = ||g||qβ = ||f ||p),使得:

    μ-幾乎處處   (*)

||f ||p = 0的情況對應於(*)中的β = 0。||g||q =0 的情況對應於(*)中的α = 0。

反向赫爾德不等式

 時, 不再滿足三角不等式,此時成立反向赫爾德不等式(Reverse Hölder inequality):

 

參考文獻

  • Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 
  • Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 
  • Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150 
  • Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], (原始內容存檔 (PDF)於2008-08-07) 
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