輻角

數學中，複數的輻角是指複數在複平面上對應的向量和正向實數軸所成的有向角。複數的輻角值可以是一切實數，但由於相差 $360^{\circ }$ （即弧度 $2\pi$ ）的輻角在實際應用中沒有差別，所以定義複數的輻角主值為輻角模 $360^{\circ }$ （ $2\pi$ ）後的餘數，定義取值範圍在 $0^{\circ }$ 到 $360^{\circ }$ （ $2\pi$ ）之間。複數的輻角是複數的重要性質，在不少理論中都有重要作用。

定義

複數輻角的直觀示意圖

設有非零複數 $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ ，記作 $z=x+yi$ ，其中的 $x$ 和 $y$ 為實數，那麼複數 $z$ 的輻角 $\varphi$ 指的是使下列等式：

z=x+yi={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\cos \varphi +i\sin \varphi )

成立的任何實數 $\varphi$ 。直觀上來說，假設非零複數 $z$ 在複平面 $O_{xy}$ 中對應的向量是 ${\overrightarrow {OP}}$ （右圖藍色向量），那麼它的輻角是所有能夠描述正實數軸到 ${\overrightarrow {OP}}$ 的轉角的有向角。其中有向角的正方向規定為逆時針方向。圖中可以看出，相差 $2\pi$ 的倍數的角都可以是輻角。這個性質也可以從三角函數 $\cos$ 和 $\sin$ 是以 $2\pi$ 為周期的周期函數中推導出來。

只有非零複數才有輻角，複數 $0$ 的輻角是沒有定義的。

輻角主值

同一個複數的輻角有無窮多個，以集合表示為 $\{\varphi +2k\pi \,|\,k\in \mathbb {Z} \}$ ，而對於所有 $\varphi _{k}=\varphi +2k\pi$ ， $\cos \varphi _{k}+i\sin \varphi _{k}$ 都相同，所以實際只需要以其中一個輻角為代表，此輻角稱為輻角主值或主輻角，記作 $\operatorname {Arg} (z)$ 。一般約定使用區間 $(-\pi ,\pi ]$ 中的值作為輻角主值（也有另一種常見的約定是以區間 $[0,2\pi )$ 中的值作為輻角主值）。如果複數的輻角主值是 $\operatorname {Arg} (z)$ ，那麼它的所有輻角值就是：

\arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2k\pi \,|\,k\in \mathbb {Z} \}

注意：也有書籍記載的 $\arg(z)$ 和 $\operatorname {Arg} (z)$ 定義是倒轉的。

輻角的計算

給定一個形如 $z=x+yi$ 的非零複數，輻角主值 $\operatorname {Arg} (z)$ 是將它映射到區間 $(-\pi ,\pi ]$ 中的函數。輻角主值函數可以用反三角函數來描述：

\operatorname {Arg} (x+yi)={\begin{cases}\arccos {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&y>0\\-\arccos {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&y<0\\0&x>0\land y=0\\\pi &x<0\land y=0\\\end{cases}}

或者配合半角公式：

\operatorname {Arg} (x+yi)={\begin{cases}2\arctan {\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}&y\neq 0\\0&x>0\land y=0\\\pi &x<0\land y=0\\\end{cases}}

性質

複數 $z$ 的一個輻角 $\varphi \in \arg(z)$ 和絕對值 $|z|$ 可以用來組成複數的極坐標形式：

z=|z|e^{i\varphi }

。

在極坐標形式下計算，可以得到複數乘積和商的輻角的規律：

\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}

\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}

於是對複數冪次的輻角也有：

\operatorname {Arg} (z^{n})=n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}

複數的共軛的輻角則滿足：

\operatorname {Arg} ({\overline {z}})=-\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}

參考來源

Ahlfors, Lars. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable 3rd. New York, London: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1.
Beardon, Alan. Complex analysis: the argument principle in analysis and topology. Chichester: Wiley. 1979. ISBN 0-471-99671-8.
Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan. Mathematics. Collins Dictionary 2nd. Glasgow: HarperCollins. 2002 [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. ISBN 0-00-710295-X.