邊界節點法

基於網格的傳統方法（如有限元法和邊界元法）在處理高維、移動邊界和幾何複雜域問題時，常會遇到網格生成、網格重構等困難，一定程度上限制了有限元、邊界元的發展。近幾十年來發展起來的無網格方法以不需要生成插值網格單元而得到了大量的研究，克服了對傳統網格的依賴，避免了因網格畸變引起的計算困難，減少了計算複雜度，從而引起了廣泛的研究。

在各類無網格方法中，邊界節點法（Boundary knot method）是一種邊界型徑向基函數配點法。相比於與其它方法有很大的優勢。首先，與基於控制方程基本解的方法（如邊界元方法、基本解方法和奇異邊界法等）不同，此方法不再需要特殊的技巧去消除核函數的源點奇異性；其次，邊界節點法是真正的無網格法，具有數值譜收斂性、離散代數系統的對稱性、不需要積分、編程簡單等優點。邊界節點法在聲學、擴散、流體等領域已經得到了深入的研究。

方法描述

邊界節點法耦合了徑向基函數、非奇異通解和雙向互易法等技術。將偏微分方程的解分解為通解和特解，通過雙向互易技術得到方程的特解，而方程的通解則通過邊界節點法給出。與著名的基本解方法不同的是，邊界節點法選取方程的非奇異一般解而不是奇異的基本解作為基函數，這樣避免了為了克服基本解奇異性而選取的虛假邊界的問題。

公式

以下述問題為例：

(1) $Lu=0,\ \ \left(x,y\right)\in \Omega$

(2) $u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D}$

(3) ${\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}$

其中$L$是偏微分算子，$\Omega$代表計算域，$\partial \Omega _{D}$ 和$\partial \Omega _{N}$ 分別為狄利克雷（Dirichlet）邊界和諾依曼（Neumann）邊界條件，並且滿足$\partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega$ 和 $\partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing$。 BKM用積分算子$L$的非奇異通解近似數值解，方法如下：

(4) $u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)$

其中$r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}$為歐幾里得距離，$\phi \left(\cdot \right)$ 是通解且滿足

(5)$L\phi =0$

通過應用配點法滿足邊界條件（2）和（3）得到下面線性方程組

(6)${\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}$

其中$\left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}$ 和 $\left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}$ 分別為分布在狄利克雷和諾依曼邊界上的配點，未知待求的係數$\alpha _{i}$可以由以上方程被唯一確定。然後，可以通過公式（4）計算出計算求解區域上任一點的數值解。

發展歷史及研究現狀

邊界元方法採用基於控制方程的基本解的邊界積分形式，成功將求解問題的維數降低一維，在處理無限域、薄體材料及反問題上比有限元和有限體積法更具有優勢。然而，邊界元最大的瓶頸在於奇異積分的求解及求解區域邊界的網格剖分。近幾十年來，基本解方法 作為一種改進的非直接邊界元方法得到了廣泛的關注。基本解方法，無需積分，無需劃分網格，且具有譜收斂性。

顧名思義，基本解方法利用問題的微分控制方程基本解作為基函數。為了避免基本解的源點奇異性，基本解方法在物理邊界外選取人工的虛擬邊界。由於虛擬邊界的設定沒有成熟的理論基礎，其任意性和不確定性阻礙了基本解方法在實際中的廣泛應用。而邊界節點法選取了方程的非奇異一般解，從而克服了基本解的奇異性並且保留了基本解方法的其餘優點。

邊界節點法已經獲得了廣泛的關注如：在文獻中，邊界節點法被用於求解拉普拉斯方程、亥姆霍茲方程和變係數亥姆霍茲方程；文獻中，基於Fasshauer’s Hermite RBF 插值，作者提出一種針對混合邊界條件的對稱邊界節點法；文獻中，作者通過考察齊次亥姆霍茲、修正亥姆霍茲以及對流擴散等問題，討論了邊界節點法的數值收斂性；文獻中，邊界節點法被用於處理二維和三維複雜幾何域的亥姆霍茲、對流擴散等問題；在文獻中，作者使用對稱邊界節點法模擬了了混合邊界條件下的薄膜振動問題；在文獻中，作者多使用邊界節點法對反問題進行了一些嘗試；在文獻中，邊界節點法被用於求解泊松方程；文獻中，邊界節點法被用於求解非齊次亥姆霍茲的柯西反問題；文獻中，通過測地距離，邊界節點法被用於求解求解各向異性問題；在文獻中，研究了條件數、有效條件數和正則化之間及邊界節點法之間的關係；在文獻中，邊界節點法被用於求解非線性材料的熱傳導問題；在文獻中，求解了非線性的Eikonal方程。

參閱

• 基本解法
• 正則化無網格法
• 邊界粒子法
• 奇異邊界法
• Kansa方法

相關鏈接

• Boundary knot method
• Examplary Matlab codes and geometric configurations