迷向二次型

數學中,一個 F 上的二次型稱為迷向isotropic)的如果在一個非零向量上取值為零。不然稱為非迷向anisotropic)的。更具體地,如果 q 是域 F 上向量空間 V 上一個二次型,則 V 中一個非零向量 v 稱為迷向的如果 q(v)=0。一個二次型是迷向的當且僅當對這個二次型存在非零迷向向量。

假設 (V,q) 是二次空間W 是一個子空間。如果 W 中所有向量都是迷向的,稱之為 V 的一個迷向子空間;如果不存在任何非零迷向向量則稱之為非迷向子空間。一個二次空間的迷向指標isotropy index)是迷向子空間的最大維數

例子

1.雙曲平面是一個二維二次空間,其形式為 xy

2. 有限維實向量空間 V 中一個二次型 q 是非迷向的當且僅當 q確定形式

  • 要麼 q 是正定的,即 q(v)>0,對所有非零向量 v 屬於 V
  • q 是負定的,即 q(v)<0 對所有非零向量 v 屬於 V

更一般地,如果二次型是非退化的具有符號 (p,q),則迷向指標是 pq 的最大值。

3. 如果 F 是一個代數封閉域,例如複數域,而 (V,q) 是一個至少二維的二次空間,則它是迷向的。

4. 如果 F 是一個有限域而 (V,q) 是一個至少三維的二次空間,則它是迷向的。

5. 如果 Fp-進數Qp,而 (V,q) 是一個至少五維的二次空間,則它是迷向的。

與二次型分類的關係

從二次型分類的觀點來看,非迷向空間是任意維數的二次空間的基本構造塊。對一般域 F,非迷向二次型的分類是一個非平凡問題。相反,迷向形式容易處理得多。

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參考文獻