邏輯矩陣
關係的矩陣表示
如果R是有限集合X和Y之間的一個二元關係( R ⊆ X×Y),那麼R可以用矩陣M來表示,M的行索引和列索引由X和Y兩個集合分別給出。M的元素定義如下:
注意,在以上定義中,假設了矩陣索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是來自某集合 {1, 2, ..., n}的整數,必須用一個n維的有限集合與集合 {1, 2, ..., n}的雙射(一一對應)來把原來集合的元素表示成整數。
例子
自然數集合{1, 2, 3, 4}的二元關係整除由以下自然數對集合組成:
- {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.
相應的布爾矩陣表示為:
一些性質
表示有限集合上的相等關係矩陣是單位矩陣,即對角線的元素均為1,其他元素為0。
如果布爾域被看作是半環的,加法對應於邏輯或,乘法對應於邏輯與,兩個關係的合成的矩陣表示等於表示這些關係的矩陣的矩陣乘法。
這是一篇關於數學的小作品。您可以透過編輯或修訂擴充其內容。 |