鎖相迴路範圍

hold-in範圍捕獲範圍(pull-in range,也稱為識別範圍,acquisition range)及鎖定範圍(lock-in range)是鎖相迴路電路有關其頻率偏差範圍的相關參數,是在不同條件下電路可以鎖定外來訊號的資訊。

歷史

在1996年鎖相環的參考書中[1][2],會介紹像hold-in、pull-in、lock-in等鎖相環可以鎖定的頻率範圍,以及其他鎖相環相關的頻率範圍。這些參數廣為在相關產業使用(例如當代的工業文獻[3][4]以及其他的出版物)。在工程文獻中只會對這些參數給予不嚴謹的定義。 這樣的情形多年之後,在有關同步以及通訊的教科書已有共識,在使用這些參數前小心的提供其定義[5]。之後就出現了嚴謹的數學定義[6][7]

加德納有關鎖定範圍定義的問題

佛洛依德·加德納英語Floyd M. Gardner在其著名著作Phaselock Techniques的第一版,有提到鎖定(lock-in)頻率的概念[8]「假如,因為一些原因,輸入和VCO的頻率差小於迴路頻寬,迴路會幾乎瞬間鎖定,不會脫步(slipping cycle)。可以快速識別頻率的最大頻率差稱為鎖定頻率」。其中有關鎖定頻率以及對應鎖定頻率的定義非常流行,出現在許多的工程文獻上。不過因為在初始狀態時,可能完全沒有頻率差,因此鎖相迴路一開始運作,在識別頻率的過程其實就脫步了。因此在迴路是否脫步的分析中,鎖相迴路的初始狀態就非常重要了。Gardner有關鎖定頻率的概念不太嚴謹,仍需要澄清。

加德納在該書的第二版中有提到:「沒有一個自然的方式可以精確定義唯一的鎖定頻率」,另外也提到:「雖然在本質上很含糊,但鎖定範圍是很有用的概念。」[9][10]

定義

  •  ,是輸入(參考)信號和振盪器(VCO, NCO)信號的相位差。
  •  ,是輸入信號和VCO信號的初始相位差
  •  ,是輸入信號和VCO信號的頻率差。
  •  是輸入信號頻率和VCO遊走頻率(free running frequency)信號的差值。

一般而言, ,因為  會依VCO的初始輸入而定。

鎖定狀態

鎖定狀態的定義

在鎖定狀態(locked state)中

  1. 相位誤差擾動很小,頻率誤差很小。
  2. 在小幅的相位擾動以及濾波狀態後,PLL可以回到鎖定狀態。

Hold-in範圍

 
Hold-in範圍的說明。VCO的遊走頻率固定,讓輸入信號頻緩慢變化。當ω在hold-in範圍內,VCO頻率可以校準到對應的數值,稱為追蹤(tracking)。若在hold-in範圍外,VCO無法鎖定輸入信號

Hold-in範圍的定義

在可達到鎖定狀態的情形下,頻率偏差 的最大值稱為hold-in範圍,而 稱為hold-in頻率[6][7]

若鎖相環在濾波器狀態、VCO和輸入信號頻率和相位的小擾動後,重新進入鎖定狀態,此時的頻率偏差屬於鎖定狀態。此效果稱為穩態穩定性。此外,針對hold-in範圍內的頻率偏差,輸入頻率若小幅改變,鎖相迴路可以重新達到新的鎖定狀態(追蹤過程)。

捕獲範圍

捕獲範圍(Pull-in range)也稱為是識別範圍(acquisition range)、捕捉範圍(capture range)[11]

假設鎖相迴路的電源一開始關閉,在 時開啟。假設初始的頻率差夠大,迴路在一個周期內無法鎖定,但VCO頻率會慢慢的朝向參考頻率移動(識別過程)。此效果稱為暫態穩定性。捕獲範圍(Pull-in range)用來說明識別過程可以穩定的頻率偏差範圍(在Gardner (1966,第40頁)和Best (2007,第61頁)中有說明)。

捕獲範圍定義

捕獲範圍是在任意相位、初始頻率以及濾波器狀態下,讓PLL可以鎖相捕獲的最大頻率偏差範圍 的值,而 稱為捕獲頻率(pull-in frequency)[6][7]

捕獲範圍的可靠數值分析很困難,因為在電路中存在隱藏吸引子[12][13][14]

鎖定範圍

假設PLL一開始已鎖定,參考頻率 突然劇烈變化(步階變化)。鎖定範圍(Pull-in range)可以保證在一段時間(可能是很長的一段時間)之內,PLL最後會同步。這種長的的識別過程稱為脫步(cycle slipping)。

若初始和最後的相位偏差大於 ,就有脫步(cycle slipping)的情形。

 

不過,有時也會考慮偏差的限制,以及偏差的最大值[15]

鎖定範圍的定義

若鎖相迴路已在鎖定狀態,在鎖定範圍(lock-in range)內的突然變化   ),鎖相迴路可以在沒有脫步的情形下鎖定。 稱為鎖定頻率(lock-in frequency)[6][7]

參考資料

  1. ^ Gardner, Floyd. Phase-lock techniques.. New York: John Wiley & Sons. 1966. 
  2. ^ Viterbi, A. Principles of coherent communications.. New York: McGraw-Hill. 1966. 
  3. ^ Gardner, Floyd. Phase-lock techniques 3rd. Wiley. 2005. 
  4. ^ Best, Roland. Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application 6th. McGraw-Hill. 2007. 
  5. ^ Kihara, M.; Ono, S.; Eskelinen, P. Digital Clocks for Synchronization and Communications.. Artech House. 2002: 49. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V.; Yuldashev, M. V.; Yuldashev, R. V. Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory.. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers (IEEE). 2015, 62 (10): 2454–2464. S2CID 12292968. arXiv:1505.04262 . doi:10.1109/TCSI.2015.2476295. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 Kuznetsov, N. V.; Leonov, G. A.; Yuldashev, M. V.; Yuldashev, R. V. Rigorous mathematical definitions of the hold-in and pull-in ranges for phase-locked loops. IFAC-PapersOnLine. 2015, 48 (11): 710–713. doi:10.1016/j.ifacol.2015.09.272 . 
  8. ^ Gardner 1966,第40頁
  9. ^ Gardner, Floyd. Phase-lock techniques 2nd. New York: John Wiley & Sons. 1979: 70. 
  10. ^ see also Gardner 2005,第187–188頁
  11. ^ Razavi, B. Design of Monolithic Phase-Locked Loops and Clock Recovery Circuits-A Tutorial.. IEEE Press. 1996. 
  12. ^ Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Yuldashev, M.V.; Yuldashev, R.V. Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017, 51: 39–49. Bibcode:2017CNSNS..51...39K. doi:10.1016/j.cnsns.2017.03.010. 
  13. ^ Best, R.; Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Yuldashev, M.V.; Yuldashev, R.V. Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop. IFAC Annual Reviews in Control. 2016, 42: 27–49. S2CID 10703739. doi:10.1016/j.arcontrol.2016.08.003. 
  14. ^ Kuznetsov, N.V.; Lobachev, M.V.; Yuldashev, M.V.; Yuldashev, R.V. On the Gardner problem for phase-locked loops. Doklady Mathematics. 2019, 100 (3): 568–570. doi:10.1134/S1064562419060218. 
  15. ^ Stensby, J. Phase-Locked Loops: Theory and Applications.. Taylor & Francis. 1997.