離心率

此條目頁的主題是幾何學。關於天文學中的偏心率，請見「軌道離心率」。

離心率（eccentricity，$e$）又稱偏心率，是指「圓錐曲線上任一點 $M$ 到平面內一特定點 $F$ 的距離」與「$M$ 到平面內一不通過 $F$ 的特定直線 $L$ 的距離」之比。該特定點 $F$ 稱為焦點（focus），特定直線 $L$ 稱為準線（directrix）。

設一圓錐曲線 $C$ 由 $C:d(F,M)=e\cdot d(L,M)$ 定義，其中 $F$ 為焦點而 $L$ 為準線（詳見主條目圓錐曲線），則此時 $e$ 稱為$C$ 的離心率。

與焦距和軸長的關係

有同一焦點 $F$ 和同一準線 $L$ 的：橢圓（$e$=1/2）、拋物線（$e$=1）、雙曲線（$e$=2）。

圓錐曲線之離心率與軸長有下述關係：

$e={\dfrac {c}{a}}$

其中

• c = 半焦距
• a = 半長軸（橢圓）或半實軸（雙曲線）

或採用較融貫的表法：

$e={\sqrt {1-k\cdot {\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

其中對橢圓取$k=1$，對拋物線取$k=0$，對雙曲線取$k=-1$。

圓錐曲線依離心率之分類如下

• 圓：$e=0$
• 橢圓：$0<e<1$
• 拋物線：$e=1$
• 雙曲線：$1<e<\infty$

相關資料

• 標準橢圓方程：

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

此時半長軸=a，半短軸=b，焦距=2c，而且

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

• 標準雙曲線方程：

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

此時半實軸=a，半虛軸=b，焦距=2c，而且

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$