數學中,K-理論K-theory)是多個領域使用的一個工具。在代數拓撲中,它是一種異常上同調,稱為拓撲K-理論;在代數代數幾何中,稱之為代數K-理論;在算子代數中也有諸多應用。它導致了一類K-函子構造,K-函子包含了有用、卻難以計算的信息。

物理學中,K-理論特別是扭曲K-理論英語twisted K-theory出現在第二型弦理論,其中猜測它們可分類D-膜拉蒙-拉蒙場英語Ramond-Ramond field以及廣義複流形上某些旋量。具體細節參見K-理論 (物理)

早期歷史

這個課題最早由亞歷山大·格羅滕迪克1957年發現,名字取自德文Klasse」,意為「分類」class,進而表述為格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理[1]。格羅騰迪格需要在代數簇X上工作。不是直接在處理層,他給出了兩個構造。首先,他利用直和運算將層的交換幺半群轉換成一個群 通過取層的分類的形式和以及形式加法逆(這是得到給定函子左伴隨的明確方法)。在第二個構造中,他強加以與層擴張一致的額外關係,得到一個現在記作 的群。這兩個構造都被稱為格羅滕迪克群英語Grothendieck group 具有上同調表現而 有同調表現。

如果 是一個光滑簇,兩個群是相同的。

在拓撲學中,我們對向量叢有類似的和構造。邁克爾·阿蒂亞弗里德里希·希策布魯赫在1959年使用格羅騰迪格群構造來定義拓撲空間  (兩個構造一致)。這是在代數拓撲中發現的第一個奇異上同調理論的基礎。它在指標定理的第二證明中起了巨大的作用。此外,這種途徑導向了C*-代數非交換 -理論。

在1955年,讓-皮埃爾·塞爾已經用具有投射模向量叢的類似物來表述塞爾猜想英語Quillen–Suslin theorem,該猜想聲稱一個域上多項式環上的投射模是自由模;這個論斷是正確的,但直到20年後才解決(斯旺定理英語Serre–Swan theorem是這個類比的另一方面)。1959年,塞爾給出了環的格羅騰迪克群構造,用它來證明投射模是穩定自由的。這個應用是代數K理論之開端。

發展

隨後一個時期,出現了各種類型的「高階K-理論函子」定義。最後,兩種有用的等價定義由丹尼爾·奎倫在1969年與1972年用同倫理論給出。另一種變體也由Template:弗里德海姆·瓦爾德豪森為了研究「空間的代數K-理論」提出,這與偽同痕的研究有關。大多數現代高階K-理論研究與代數幾何和Template:主上同調有關。

帶有一個輔助的二次型的相應構造具有一般名字L-理論。它是割補理論的主要工具。

弦理論中,拉蒙-拉蒙場強與穩定D-膜電荷的K-理論分類在1997年首次提出[2]

另見

參考文獻

注釋