數學里,尤其是組合數學特殊函數領域,一個定理、等式或者表達式的q-模擬是指在引入一個新的參數q後當q→1時原定理、等式或表達式的極限。最早地研究得較為深入的q-模擬是 19世紀[1]被引入的基本超幾何級數

q-模擬在包括分形多重分形, 混沌動力系統表達在內的多個研究領域都有應用。另外,在量子群q-變形 代數的研究中也有應用。

"經典" q-模擬開始於萊昂哈德·歐拉的研究工作,後來由F. H. Jackson[2] 以及其他人[3]所擴展。

"經典" q-理論

經典 q-理論開始於非負整數的q-模擬。[3] 等式

 

表示定義nq-模擬為

 

階乘q-模擬,稱作q-階乘,被定義為


   

 

 


[n]q! 表示逆序對的數目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序對,Sn表示n全排列的集合, 則有

 

特別地, 當取極限 時就得到一般的階乘公式。

根據q-階乘, 可以定義 q-二項式係數, 也被稱作高斯係數, 高斯多項式, 或高斯二項式係數:

 


q-指數定義為:

 

組合q-模擬

高斯二項式係數計算一個有限維向量空間的子空間數。令q表示一個有限域里的元素數目,則在q元有限域上n維向量空間的k維子空間數等於  q等於1時, 得到二項式係數  

參考文獻

  1. ^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
  2. ^ F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
  3. ^ 3.0 3.1 Ernst, Thomas. A Method for q-calculus (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2003, 10 (4): 487–525 [2011-07-27]. (原始內容存檔 (PDF)於2012-03-28). 

外部連結