使用者討論:Dz902/沙盒/數學歸納法
數學歸納法是一種數學證明方法,通常被用於證明某個給定命題在整個(或者局部)自然數範圍內成立。除了自然數以外,廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構,例如:集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域,稱作結構歸納法。
需要留意的是,數學歸納法雖然名字中有「歸納」,但是實際上數學歸納法並不屬於不嚴謹的歸納推理法,實際上是屬於完全嚴謹的演繹推理法。
定義
最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n 等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步:
- 證明當 n = 0 時命題成立。
- 證明如果在 n = m 時命題成立,那麼可以推導出在 n = m+1 時命題也成立。(m 代表任意自然數)
這種方法的原理在於:首先證明在某個起點值時命題成立,然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明,那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如:你有一列很長的直立着的多米諾骨牌,如果你可以:
- 證明第一張骨牌會倒。
- 證明只要任意一張骨牌倒了,那麼與其相臨的下一張骨牌也會倒。
那麼便可以下結論:所有的骨牌都會倒。
例子
假設我們要證明下面這個公式(命題):
其中 n 為任意自然數。這是用於計算前 n 個自然數的和的簡單公式。證明這個公式成立的步驟如下。
證明
第一步
第一步證明的是這個公式在 n = 0 時成立(即 P(0) 成立)。這裡要注意的是 0 = 0,而 0(0 + 1) / 2 = 0,所以這個公式在 n = 0 時成立。證明的第一步完成。
第二步
第二步我們需要證明如果假設 n = m 時公式成立(即 P(m) 成立),那麼可以推導出 n = m+1 時公式也成立(即 P(m+1) 成立)。證明步驟如下。
我們先假設 n = m 時公式成立。即
(等式 1)
然後在等式等號兩邊分別加上 m + 1 得到
(等式 2)
這就是 n = m+1 時的等式。我們現在需要根據等式 1 證明等式 2 成立。通過因式分解合併,等式 2 的右手邊
也就是說
這樣便證明了從 P(m) 成立可以推導出 P(m+1) 也成立。證明至此結束,結論:對於任意自然數 n,P(n) 均成立。
解釋
在這個證明中,歸納推理的過程如下:
- 首先證明 P(0) 成立,即公式在 n = 0 時成立。
- 然後證明從 P(m) 成立可以推導出 P(m+1) 也成立。(這裡實際應用的是演繹推理法)
- 根據上兩條從 P(0) 成立可以推導出 P(0+1),也就是 P(1) 成立。
- 繼續推導,可以知道 P(2)、P(3) 也成立。
- 從 P(3) 成立可以推導出 P(4) 也成立。
- 等等等等,不斷重複。(這就是所謂「歸納」推理的地方)
- 我們便可以下結論:對於任意自然數 n,P(n) 成立。
數學歸納法的變體
在應用,數學歸納法常常需要採取一些變化來適應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。
從 0 以外的數字開始
如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數,而只是針對所有大於等於某個數字 b 的自然數,那麼證明的步驟需要做如下修改:
- 第一步,證明當 n = b 時命題成立。
- 第二步,證明如果 n = m (m ≥ b) 成立,那麼可以推導出 n = m+1 也成立。
用這個方法可以證明諸如「當 n ≥ 3 時,n2 > 2n」這一類命題。