Γ函數

即Gamma函數,為一數學函數

數學中,函數伽瑪函數;Gamma函數),是階乘函數在實數複數域上的擴展。如果正整數,則:

Γ函數在實數定義域上的函數圖形

根據解析延拓原理,伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上:

數學家勒讓德首次使用了希臘字母Γ作為該函數的記號。在概率論組合數學中此函數很常用。

定義

 函數可以通過尤拉(Euler)第二類積分定義:

 

複數 ,我們要求 

 函數還可以通過對 泰勒展開解析延拓到整個複數平面 

這樣定義的 函數在全平面除了 以外的地方解析。

 函數也可以用無窮乘積的方式表示:

 

這說明 是亞純函數,而 是全純函數。

歷史動機

Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解:

『找到一個光滑曲線連接那些由   所給定的點 ,並要求 要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的,但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線,並讓階乘的操作不會依賴於 值的大小。而最簡單的階乘公式   不能直接應用在 值為分數的時候,因為它被限定在 值為正整數而已。相對而言,並不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達  ,但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的,而 Γ函數就是那個公式。[1]

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義體擴張到非整數:可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇,因為是解析的(除了非正整數點),而且它可以被定義成很多種等價形式。然而,它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數,只要給予任何解析函數,其在正整數上為零,像是  ,會給出其他函數有着階乘性質。

無窮乘積

 函數可以用無窮乘積表示:

 
 

其中 尤拉-馬歇羅尼常數

Γ積分

 

 

遞迴公式

 函數的遞迴公式為:  

對於正整數 ,有

 

可以說 函數是階乘的推廣。

遞迴公式的推導

 

我們用分部積分法來計算這個積分:

 

 時, 。當 趨於無窮大時,根據洛必達法則,有:

 .

因此第一項 變成了零,所以:

 

等式的右面正好是 , 因此,遞迴公式為:

 .

重要性質

  •  時, 
  • 歐拉反射公式(余元公式):
 .
由此可知當 時, .
  • 乘法定理:
 
 .
  • 此外:
 .
  • 使用乘法定理推導的關係:
 
 
 
 
 
 

[2]

此式可用來協助計算t分佈概率密度函數、卡方分佈概率密度函數、F分佈概率密度函數等的累計概率。

  • 極限性質

對任何實數α

 

斯特靈公式

Γ函數與斯特靈公式
 (藍色)、 (橘色),數字越大 會越趨近 。但 會在負值則會因為出現虛數而無法使用。

斯特靈公式能用以估計 函數的增長速度。公式為:

 

其中e約等於2.718281828459。

特殊值

 

連分數表示

伽馬函數也可以在複數域表示為兩個連分數之和[3]

 

導數

Γ函數的微分
Γ函數(藍色)、Γ函數的微分(橘色),其中,大於50與小於-20的部分被截掉。

對任何複數z,滿足 Re(z) > 0,有

 

於是,對任何正整數 m

 

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數

複數值

 

解析延拓

 
Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在 函數的積分定義中若取 為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

 

並注意到函數 在整個複平面上有解析延拓,我們可以在 時設

 

從而將 函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在 有單極點,留數為

 

程式實現

許多程式語言或試算表軟件有提供Γ函數或對數的Γ函數,例如EXCEL。而對數的Γ函數還要再取一次自然指數才能獲得Γ函數值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函數,再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意實數的伽瑪函數的值。

  • 例如在EXCEL中:EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在沒有提供Γ函數的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[4],已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位元:

 

參見

參考文獻

  1. ^ P. J., Davis. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959 [2023-01-01]. doi:10.2307/2309786. (原始內容存檔於2023-01-01). 
  2. ^ Mada, L. Relations of the Gamma function. R code on Github. Code publicly available on Github [Personal Research]. 2020-04-24 [2020-04-24]. (原始內容存檔於2021-04-02). Relations of the Gamma function 
  3. ^ Exponential integral E: Continued fraction representations. [2023-01-01]. (原始內容存檔於2022-11-09). 
  4. ^ Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006 [2018-11-18]. (原始內容存檔於2007-02-23). 

外部連結