一致估計量

在統計學中，一致估計量(Consistent Estimater)、漸進一致估計量，亦稱相合估計量、相容估計量。其所表徵的一致性或（相合性）同漸進正態性是大樣本估計中兩大最重要的性質。隨着樣本量無限增加，估計誤差在一定意義下可以任意地小。也即估計量的分佈越來越集中在所估計的參數的真實值附近，使得估計量依概率收斂於$\theta _{0}$。

{$T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$, ...}是參數$\theta _{0}$的一組估計量，待估參數真值為4。隨着樣本量的增加該估計量序列越發集中於$\theta _{0}$的真值；而同時這些估計量是有偏的。該估計量序列的極限分佈將退化為一個隨機變量以概率1收斂於$\theta _{0}$。

這裏定義的一致性稱弱相合性。如果將概率收斂的方式改為以概率1收斂此時稱強相合性。

定義

設$g(\theta )$為定義在參數空間$\Theta$上的一維數值函數，用${\widehat {T}}_{n}=T(X^{(n)})$去估計它。這裏$X^{(n)}=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})$為樣本，$n$為樣本量。如果當$n\to \infty$時，估計量${\widehat {T}}_{n}$在某個意義$C$之下收斂於被估計的$g(\theta )$，則稱${\widehat {T}}_{n}$是$g(\theta )$的一個意義$C$之下的相合估計。在數理統計中最常考慮的有以下三種情況：

• $C$表示依概率收斂，即是${\widehat {T}}_{n}{\overset {}{\to }}g(\theta )$，這時所定義的相合性稱弱相合。

• $C$表示以概率1收斂，即是${\widehat {T}}_{n}{\overset {a.s.}{\to }}g(\theta )$，這時所定義的相合性稱強相合。

• $C$表示以$r$階動差收斂($r>0$)，即是$\mathrm {E} |{\widehat {T}}_{n}-g(\theta )|^{r}\to 0$，這時所定義的相合性稱$r$階動差相合，簡稱動差相合。

根據定義顯然可知強相合與動差相合可推得弱相合，反之不成立。強相合與動差相合之間沒有從屬關係。

如果$g(\theta )=(g_{1}(\theta ),g_{2}(\theta ),\cdots ,g_{k}(\theta ))$是多維的，$\forall i\in \{1,2,\cdots ,k\}$，${\widehat {T}}_{ni}$為$g_{i}(\theta )$在某意義下的相合估計，則稱估計量${\widehat {T}}_{n}=({\widehat {T}}_{n1},{\widehat {T}}_{n2},\cdots ,{\widehat {T}}_{nk})$在該意義下相合。

因此一般性討論中可以只考慮$g(\theta )$為1維的情況。

性質

泛函不變性

設參數空間$\Theta \subset \mathbb {R} ^{k}$，$g(\theta )$為定義在開集${\widetilde {\Theta }}\subset \Theta$上的實值連續函數。若${\widehat {T}}_{n}$是$\theta$的（強/弱）相合估計，則$g({\widehat {T}}_{n})$是$g(\theta )$的（強/弱）相合估計。

該定理不適用於動差相合。

由該定理和Kolmogorov強大數法則可推知動差估計為強相合估計。

存在性的充分條件

設參數空間$\Theta \subset \mathbb {R} ^{k}$，獨立同分佈樣本$X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$其總體分佈函數是k維分佈函數$F_{\theta }(x)$。若$\forall \theta \in \Theta ,\varepsilon >0$ 有

$\inf\{\sup _{x\in \mathbb {R} ^{k}}|F_{\theta }-F_{\varphi }|:\varphi \in \Theta ,\|\theta -\varphi \|>\varepsilon \}>0$

則$\theta$的強相合估計存在。

存在性的一個必要條件

設參數空間$\Theta \subset \mathbb {R} ^{k}$，獨立同分佈樣本$X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$其總體分佈函數是k維分佈函數$F_{\theta }(x)$。若$\theta$的相合估計存在，且$\theta \neq \varphi \in \Theta$時，$F_{\theta }\neq F_{\varphi }$。

存在性的充要條件

至今沒有得到回答。

參考文獻

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• 陳, 希孺. 高等数理统计学. 中國科學技術大學出版社. 2009. ISBN 978-7-312-02281-4. 
• Nikulin, M. S., Consistent estimator, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4