均勻收斂
均勻收斂,或稱一致收斂,(英語:Uniform convergence),是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成:若函數序列 fn 均勻收斂至函數 f,代表對所有定義域中的點 x,fn(x) 收斂至 f(x) 會有(大致)相同的收斂速度[註 1]。由於它對收斂要求較逐點收斂更強,故能保持一些重要的分析性質,例如連續性、黎曼可積性。
定義
當函數序列中的函數的對應域是 或 時,此時均勻收歛的定義為:
讓 是定義在 上,對應域為 或 的一組函數序列,若序列 均勻收歛至函數 在集合 上,即表示對所有 ,存在 ,使得當所有 且 時有
可將這定義推廣到一般的度量空間:
設 為一集合, 為度量空間。若對一組函數序列 ,存在函數 滿足 對所有 ,存在 ,使得當所有 且 時有
則稱序列 均勻收斂到 。
注意到,均勻收斂和逐點收斂定義的區別在於,在均勻收斂中 的選取僅與 相關,而在逐點收斂中 還多了與點 相關。所以均勻收斂必定逐點收斂,而反之則不然。
例子
例子一:對任何 上的連續函數 ,考慮多項式序列
可證明 在區間 上均勻收斂到函數 。其中的 稱為伯恩斯坦多項式。
透過坐標的平移與縮放,可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數,這是斯通-維爾斯特拉斯定理的一個建構性證明。
例子二:考慮區間 上的函數序列 ,它逐點收斂到函數
然而這並非均勻收斂。直觀地想像:當 愈靠近 ,使 接近 所需的 便愈大。可以依此想法循定義直接證明,也可以利用下節關於連續的性質證明,因為在此例中 皆連續,而 不連續。
性質
讓 為一組函數序列,對應域為 或 ,此時有下述性質:
- 連續性:若函數序列 均勻收歛至函數 ,則有:
- 與積分的交換:令 為定義在緊緻區間 的函數序列,且序列 均勻收歛至函數 。若每個 都是黎曼可積,則 也是黎曼可積,而且
- 與微分的交換:可微函數序列 均勻收歛至函數 ,並不能保證 是可微的,還需要對該函數序列的微分, ,做些限制,請參看以下定理:
- 讓 為定義在閉區間 的可微函數序列,且存在一點 使得極限 存在(且有限)。若序列的微分 在區間 均勻收斂到函數 ,則序列 均勻收歛至函數 且 亦是可微函數,且有:
- 。
註釋
文獻
- Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
- G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
- Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X