不可數集

不可數集（英語：uncountable set）是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個雙射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可數性與它的基數密切相關：如果一個集合的基數大於自然數的基數，那麼它就是不可數的。

定義

不可數集有許多等價的定義。一個集合 $X$ 是不可數集，若且唯若以下任何一個條件成立：

不存在從 $X$ 到自然數集合的單射函數。
$X$ 的基數既不是有限的，又不等於 $\aleph _{0}$ （阿列夫-0，自然數集合的基數）。
$X$ 的基數嚴格大於 $\aleph _{0}$ 。

性質

如果不可數集 $X$ 是集合 $Y$ 的子集，則 $Y$ 是不可數集。

例子

不可數集的最廣為人知的例子，是所有實數的集合 $\mathbb {R}$ ；對角論證法證明了這個集合是不可數的。對角論證法也可以用來證明一些其它的集合是不可數的，例如所有自然數的無窮序列的集合（甚至是所有只由0和1所組成的無窮序列的集合），以及自然數集合的所有子集所組成的集合。 $\mathbb {R}$ 的基數通常記為 $c$ 、 $2^{\aleph _{0}}$ ，或 $\beth _{1}$ 。

康托爾集是 $\mathbb {R}$ 的一個不可數子集。它是一個分形，其豪斯多夫維大於零，但小於一（ $\mathbb {R}$ 的維數是一）。這是以下事實的一個例子：如果 $\mathbb {R}$ 的某個子集有嚴格大於零的豪斯多夫維，那麼它一定是不可數的。

另外一個不可數集的例子，是所有從 $\mathbb {R}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函數的集合。這個集合比 $\mathbb {R}$ 更「不可數」，因為它的基數是 $\beth _{2}$ ，它比 $\beth _{1}$ 還要大。

一個更加抽象的例子，是所有可數序數的集合，記為 $\Omega$ 或 $\omega _{1}$ 。 $\Omega$ 的基數記為 $\aleph _{1}$ 。利用選擇公理，可以證明 $\aleph _{1}$ 是最小的不可數基數。於是，實數的基數 $\beth _{1}$ ，要麼等於 $\aleph _{1}$ ，要麼嚴格比它大。康托爾是第一個提出 $\beth _{1}$ 是否等於 $\aleph _{1}$ 的問題的人。在1900年，希爾伯特把這個問題作為他的23個問題之一。 $\aleph _{1}=\beth _{1}$ 的陳述現在稱為連續統假設，現已知道它獨立於集合論的ZF公理（包括選擇公理）。

參見

參考文獻

Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

外部連結

證明R是不可數集（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）