代數邏輯
邏輯作為代數構成的模型
代數邏輯把邏輯當作特定代數結構構成的模型(解釋、釋義)，特別是作為格構成的模型，並因而是序理論的分支。
在代數邏輯中:
- 變量默許的全稱量化於某個論域之上。這里沒有存在量化變量或開放公式；
- 項使用基本和定義的運算從變量建造。這里沒有連結詞；
- 公式用通常方式從項建造，並且如果它們邏輯等價則可以寫成等式。要表達重言式，寫一個公式等於真值真；
- 證明的規則是對相等者的等式代換，和一致替換。肯定前件仍然有效，但很少採用。
在下表中，左列包含一個或多個邏輯或數學系統，它是在右列展示的代數結構構成的模型。這些結構要麼是布爾代數要麼是它的嚴格擴展。模態邏輯和其他非經典邏輯典型是「帶有算子的布爾代數」所構成的模型。
代數形式主義在至少以下方面超越了一階邏輯:
| 邏輯系統 | 構成模型的結構 |
| 經典命題演算 | 林登鮑姆-塔斯基代數 |
| 直覺命題邏輯 | Heyting代數 |
| 模態邏輯 K | 模態代數 |
| Lewis的 S4 | 內部代數 |
| Lewis的 S5 | 一元布爾代數 |
| 一階邏輯 | 圓柱代數 |
| 集合論 | 組合子邏輯 |
歷史
代數邏輯有至少兩種意義:
第一種含義開始於十九世紀中期的奧古斯都·德·摩根和喬治·布爾的工作，接續於查爾斯·皮爾士，達到頂點於 Ernst Schröder 的工作。模型論的創立者 Leopold Loewenheim 和 Thoralf Skolem 是遵循代數傳統的邏輯學家。塔斯基是現代數理邏輯主要分支之一的集合論上的模型論的創立者，他在 1940 年的論文中重新闡述了 Schröder 的關係代數並簡化了它的公理。這個論文可以被認為是現代抽象代數邏輯的起點。
代數邏輯可以證明開始於萊布尼茲在 1680 年代寫的許多備忘錄中，直到 1903 年才被 Louis Couturat 在萊布尼茲未發表的遺作中找到並出版。他的邏輯學著作在 Parkinson 和 Loemker 1969 年翻譯成英語之前很少被研究。
在 1847 年奧古斯都·德·摩根和喬治·布爾獨立的出版了開啟現代數理邏輯的小冊子。他們和後來的查爾斯·皮爾士、Hugh MacColl、弗雷格、皮亞諾、伯特蘭·羅素和懷特海都共享了萊布尼茲的合併符號邏輯、數學和哲學的夢想。萊布尼茲方法的頂點被證明為開始於奧古斯都·德·摩根、發展於查爾斯·皮爾士和 Ernst Schröder 的關係代數，並在並塔斯基和他的學生的工作中達到了完全成熟。
上述提到的人物都沒有受到萊布尼茲的影響。有一個例外是模態邏輯之父 Clarence Irving Lewis，他在 1918 年出版了萊布尼茲的邏輯學著作的一個重要片段的英文翻譯。
引用
- Brady, Geraldine, 2000. From Peirce to Skolem: A neglected chapter in the history of logic. North-Holland.
- Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots. Princeton Univ. Press.
- Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
- Loemker Leroy. Leibniz: Philosophical Papers and Letters. Reidel. 1969 (1956).
- Roger Maddux, 1991, "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations," Studia Logica 50: 421-55.
- Parkinson, G.H.R., 1966. Leibniz: Logical Papers. Oxford Uni. Press.
- Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" in The Ways of Paradox. Harvard Univ. Press: 283-307.
- Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Theory of Concepts（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）," Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.