倒易點陣

倒易點陣(英語:reciprocal lattice),又稱倒(易)晶格倒(易)格子,是物理學中描述空間波函數傅立葉變換後的周期性的一種方法。相對於正晶格所描述的實空間周期性,倒晶格描述的是動量空間,亦可認為是k空間的周期性。根據位置和動量所滿足的龐特里亞金對偶性布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格,而倒晶格的倒晶格就會變回原始晶格(正晶格)。

一個二維晶體及其倒易點陣

數學描述

一維晶格

對於以 為基矢的一維晶格,其倒格子的基矢為

 

二維晶格

對於以 為基矢的二維晶格,定義其二維平面法線向量為 ,其倒格子的基矢為

 
 

三維晶格

對三維晶格而言,我們定義素晶胞的基矢  ,可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢 

 
 
 

倒晶格與正晶格的關係

倒晶格與正晶格的基矢滿足以下關係

 

定義三維中的倒晶格向量G

 

其中(h,k,l)為密勒指數,向量G模長與正晶格的晶面間距有以下關係

 

向量G和正晶格向量R有以下關係

 
 

三維倒晶格中的晶胞體積ΩG和正晶格的晶胞體積Ω有以下關係

 

倒晶格的物理意義

在此以一維晶格為例。在一個以 為基矢的一維晶格中,其波函數應該為布洛赫波

 

定義其倒晶格向量

 
 
 

以及一個函數

 

由於 是一個布洛赫波包,滿足

 

所以

 

也是一個布洛赫波包。則波函數有以下性質

 

可見,倒晶格向量G描述了波函數在以k為基矢的動量空間(k空間)內的周期性。其向量單位,即倒晶格的基矢 是描述k空間中平移對稱性的基矢。其最小可重複單位,即倒晶格的晶胞,稱為第一布里淵區。由於波矢k和動量與波函數對應的能量密切相關,在能帶理論中也用來解釋能帶的周期性。

倒晶格與晶體繞射

晶體繞射滿足布拉格定律

 

定義入射波波矢為 ,則上述公式可變換為

 

因此滿足布拉格定律的晶體繞射反映的不是正晶格,而是倒晶格。

進一步將以上公式轉化為向量形式,定義入射波波矢為 ,反射波波矢為 ,可以得到

 

這個形式也和勞厄方程式相符。

晶體繞射的想法也可以用來解釋能帶結構中,為什麼能量的分佈是不連續的。

常見布拉菲晶格的倒晶格

簡單立方晶體

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

 
 
 

體積為

 

可推得倒晶格的素格子基矢

 
 
 

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體,但是晶格常數為  

面心立方晶體(FCC)

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

 
 
 

體積為

 

可推得倒晶格之素格子基矢

 
 
 

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

體心立方晶體(BCC)

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

 
 
 

體積為

 

可推得倒晶格之素格子基矢

 
 
 

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

布拉菲晶格中,三軸互為九十度的  (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸 與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

參閱

外部連結