八次方程

八次方程[1]是可以用下式表示的方程

八次函數的圖,有8個實數(穿過X軸)和7個臨界點。一般來說,取決於局部極值的數量和垂直位置,實數根的數量可以是8,6,4,2或0。複數根的數量等於8減去實數根的數量 。

其中a ≠ 0

八次函數是可以用下式表示的函數

換句話說,八次函數也就是次數為8次的多項式,若a = 0,則多項式最多只為是七次函數。

若令八次函數f(x) = 0,即可得到八次方程。

八次方程的系數a, b, c, d, e, f, g, h, k可以是整數有理數複數或是任何一種的元素。

由於一個八次函數是由偶數多項式定義,當變元往正值或負值無窮時,它擁有一樣的無窮的極限。如果首項系數a是正值,那麼函數在兩邊增加到正無窮大;因此該函數具有全域極小值。同樣地,如果a是負值,八次函數減少到負無窮大和具有全域極大值。八次函數的導數是七次函數。

八次方程求根

透過阿貝爾-魯菲尼定理,就其參數而言沒有一般的代數式能解八次方程。然而,一些八次方的子類(sub-classes)有這樣的公式。

普通的,具有正值k的形式的八次方程

 

具有解

 

其中 是在複數平面中第i個1的8次方根

可以通過因式分解或在變量x4

 

應用二次方程來求解形式的八次方程。

 

得出 

 

 

 

可以使用變量x2中的四次方程

 

 得出四次方程

 

得出 

 

 

 

 

應用

在某些情況下(如通過垂直線劃分成四個相等面積的區域),一個三角形的垂直線的四分之一部分是一個八次方程的解。[2]

參見

參考資料

  1. ^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171頁面存檔備份,存於互聯網檔案館))
  2. ^ http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Carl Eberhart, 「Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli」, Forum Geometricorum 18, 2018, pp. 7–16 (particularly pp. 14–15).