共軛轉置

矩陣$A$的共軛轉置（英語：conjugate transpose，又稱埃爾米特共軛、埃爾米特轉置（英語：Hermitian transpose））$A^{*}$的定義為：

$(A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}$

其中$(\cdot )_{i,j}$表示矩陣i行j列上的元素，${\overline {(\cdot )}}$表示純量的複共軛。

這一定義也可以寫作：

$A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}$

其中$A^{\mathrm {T} }\,\!$是矩陣A的轉置，${\overline {A}}\,\!$表示對矩陣A中的元素取複共軛。

通常用以下記號表示矩陣A的共軛轉置：

• $A^{*}\,\!$或$A^{\mathrm {H} }\,\!$，常用於線性代數
• $A^{\dagger }\,\!$，普遍用於量子力學，而同時$A^{*}\,\!$只表示為$A\,\!$的複數共軛。
• $A^{+}\,\!$（但這一記號通常指矩陣的摩爾－彭若斯廣義逆)

注意：某些情況下$A^{*}\,\!$也指僅對矩陣元素取複共軛，而不做矩陣轉置，切勿混淆。

實例

若

$A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}$ ，

則

$A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}$。

基本評註

如果A的元素是實數，那麼A^*與A的轉置A^T相等。把複值方塊矩陣視為複數的推廣，以及把共軛轉置視為共軛複數的推廣通常是非常有用的。

元素為$a_{ij}$的方塊矩陣A稱為：

• 埃爾米特矩陣或自伴矩陣，如果A = A^*，也就是說，$a_{ij}=a_{ji}^{*}$ ；
• 斜埃爾米特矩陣或反埃爾米特矩陣，如果A = −A^*，也就是說，$a_{ij}=-a_{ji}^{*}$ ；
• 正規矩陣，如果A^*A = AA^*。

即使A不是方塊矩陣，A^*A和AA^*仍然是埃爾米特矩陣和半正定矩陣。

性質

• (A + B)^* = A^* + B^*。
• (rA)^* = r^*A^*，其中r為複數，r^*為r的複共軛。
• (AB)^* = B^*A^*，其中A為m行n列的矩陣，B為n行p列矩陣。
• (A^*)^* = A 。
• 若A為方陣，則det(A^*) = (det A)^*，且tr(A^*) = (tr A)^* 。
• A是可逆矩陣，當且僅當A^*可逆，且有(A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^* 。
• A^*的特徵值是A的特徵值的複共軛。
• <Ax,y> = <x, A^*y>，其中A為m列n行的矩陣，複向量x為n維行向量，複向量y為m維行向量，<·,·>為複數的內積。

推廣

• 從上面給出的最後一個性質可以推出，如果我們把A視為從希爾伯特空間Cⁿ到C^m的線性轉換，則矩陣A^*對應於A的自伴算子。於是，希爾伯特空間之間的自伴算子可以視為矩陣的共軛轉置的推廣。
• 還可以進行另外一種推廣：假設A是一個從複值向量空間V到W的線性映射，那麼可以定義複共軛線性映射和線性映射的轉置，並可以取A的共軛轉置為A的轉置的共軛複數。它把W的共軛對偶映射到V的共軛對偶。

參見

• 埃爾米特伴隨

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Conjugate Transpose. MathWorld. 
• Conjugate transpose. PlanetMath.