幾何中心

n 空間中一個對象X幾何中心形心是將X分成相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說,它是X中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均,形心便是重心

三角形的中心

如果一個對象具有一致的密度,或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心,那麼它的幾何中心和質量中心重合,該條件是充分但不是必要的。

有限個點總存在幾何中心,可以通過計算這些點的每個坐標分量的算術平均值得到。這個中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的唯一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。

性質

一個對象的幾何中心總在其內部。一個非凸對象的幾何中心可能在外部,比如一個環或的幾何中心不在內部。

三角形的中心

形心三角形的幾何中心,是指三角形的三條中線頂點和對邊的中點的連線)交點[1]

三條中線共點證明

 
三條中線共點證明

塞瓦定理逆定理可以直接證出:

 

因此三線共點。[2]

中心分每條中線比為2:1,這就是說距一邊的距離是該邊相對頂點距該邊的1/3。如右圖所示:

如果三角形是由均勻材料做成的薄片,那麼幾何中心也就是質量中心。它的笛卡爾坐標是三個頂點的坐標算術平均值。也就是說,如果三頂點位於  ,和 ,那麼幾何中心位於:

 

中心分中線為2:1的證明

設三角形ABC的中線ADBECF交於三角形的中心G,延長AD至點O使得

 

那麼三角形AGEAOC 相似(公共角AAO = 2 AGAC = 2 AE),所以OC平行於GE。但是GEBG的延長,所以OC平行於BG。同樣的,OB平行於CG

從而圖形GBOC是一個平行四邊形。因為平行四邊形對角線互相平分,對角線GOBC的交點使得GD = DO,這樣

 

所以, ,或 ,這對任何中線都成立。

性質

  • 三角形的重心與三頂點連線,所形成的三個三角形面積相等。
  • 頂點到重心的距離是中線 
  • 外心 、重心 九點圓圓心 垂心 四點依次序共線,其中 ,此線稱為歐拉線
  • 內心 、重心 、斯俾克心 奈格爾點 四點依次序共線,其中 ,此線稱為奈格爾線。
  • 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
  • 直角座標系中,若頂點的座標分別為   ,則重心的座標為:
 
 
 

四面體的中心

類似三角形的中心的結論對四面體也成立,四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成3:1。這個結論能自然推廣到任何 -維單形。如果單形的頂點集是 ,將這些頂點看成向量,幾何中心位於:

 

多邊形的中心

一個由N個頂點(xi , yi確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算:[3]

記號( xN , yN與頂點( x0 , y0相同。多邊形的面積為:

 

多邊形的中心由下式給出:

 
 

有限點集的中心

給定有限點集  屬於 ,它們的中心定義 

 

面積中心

面積中心和質量中心非常類似,面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的,質量中心將位於面積中心。[4]

對於兩部分組成的圖形,將有如下等式:

 

 是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。 是特定部分的面積。

當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時,先計算各部分的面積中心,然後通過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心:

 
 

這裏從y-軸到中心的距離是 ,從x-軸到中心的距離是 ,中心的坐標是 

積分公式

一個平面圖形的中心的橫坐標x軸)由積分

 給出。

這裏fx)是對象位於在橫坐標xy軸上的長度,是在x圖形的測度。這個公式能由區域關於y-軸的第一矩得出。

這個過程等價於取加權平均。假設y-軸表示頻率,x-軸表示欲求平均值的變量,那麼沿着x-軸的中心即  。從而中心可以想像成表示特定形狀的許多無限小元的加權平均。

對任意維數n,由相同的公式得出 中一個對象的中心第一個坐標,假設f (x)是對象在坐標x的截面(也就是說,對象中第一個坐標為x的所有點的集合)的(n-1)-維測度。

注意到分母恰是對象的n- 維測度。特別的,在f為正規時,即分母為1,中心也稱為f平均

當對象的測度為0或者積分發散,這個公式無效。

圓錐和稜錐的中心

圓錐或稜錐的中心位於連接頂點和底的中心的線段上,分比為3:1。

對稱中心

如果中心確定了,那麼中心是所有它對稱群不動點。從而對稱能全部或部分確定中心,取決於對稱的種類。另外可以知道,如果一個對象具有傳遞對稱性,那麼它的中心是不確定的或不在內部,因為一個傳遞變換群沒有不動點。

地理中心

地理學中,地球表面一個區域的幾何中心也稱為地理中心

參見

參考文獻

  1. ^ 幾何原本ISBN 957-603-016-1
  2. ^ 幾何明珠ISBN 957-603-197-4
  3. ^ Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. (原始內容存檔於2008-10-16). 
  4. ^ Area Centroid. [2008-10-16]. (原始內容存檔於2008-10-20). 

外部連結