分位函數

在概率和統計學中，與隨機變量的概率分佈相關聯的分位函數（英語：Quantile function）指定隨機變量的值，使得變量小於或等於該值的概率等於給定概率。直觀地說，分位函數與概率輸入處和以下的範圍相關聯，即隨機變量在該範圍內實現某個概率分佈的可能性。

定義

對於一個連續且嚴格單調的分佈函數，例如，一個隨機變量X的累積分佈函數 $F_{X}\colon R\to [0,1]$ ，分位函數 $Q$ 返回一個閾值 $x$ ，低於該閾值從給定的累積分佈函數(cdf)中隨機抽取會下降 $p$ 百分比的時間。

就分佈函數 $F$ 而言，分位函數 $Q$ 返回值 $x$ 使得

F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p.\,

應用

分位函數用於統計應用和蒙特卡洛方法。

分位函數是規定概率分佈的一種方式，它是概率密度函數(pdf)、或概率質量函數(pmf)、累積分佈函數(cdf)、和特徵函數的替代方法。概率分佈的分位函數 $Q$ 是其累積分佈函數 $F$ 的反函數。分位函數的導數，即分位密度函數，是另一種規定概率分佈的方式。它是由分位函數組成的概率密度函數(pdf)的倒數。

對於統計應用程式，用戶需要知道給定分佈的關鍵百分比。例如，它們需要中位數和25%和75%的四分位數，如上例所示，或 5%、95%、2.5%、97.5% 的水平用於其他應用，例如評估其已知分佈的觀察的統計顯着性；請參閱分位數條目。在電腦普及之前，書籍的附錄中附有統計表對分位函數進行抽樣的情況並不少見^[1]。Gilchrist廣泛討論了分位函數的統計應用^[2]。

蒙特卡洛模擬採用分位函數來生成非均勻隨機數或偽隨機數，以用於各種類型的模擬計算。原則上可以通過將分位函數應用於均勻分佈的樣本來獲得來自給定分佈的樣本。

參閱

參考文獻

^ Archived copy (PDF). [March 25, 2012]. （原始內容 (PDF)存檔於March 24, 2012）.
^ Gilchrist, W. Statistical Modelling with Quantile Functions. 2000. ISBN 1-58488-174-7.

延伸閱讀

（英文）Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *"Applying series expansion to the inverse beta distribution to find percentiles of the F-distribution", ACM Trans. Math. Softw., 9 (4), 478–480 doi:10.1145/168173.168387
（英文）Refinement of the Normal Quantile
（英文）New Methods for Managing "Student's" T Distribution
（英文）ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles

[1] Archived copy (PDF). [March 25, 2012]. （原始內容 (PDF)存檔於March 24, 2012）.

[2] Gilchrist, W. Statistical Modelling with Quantile Functions. 2000. ISBN 1-58488-174-7.

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