雙橢圓轉移

在航天科學中，雙橢圓轉移是一種將航天器從一個軌道移動到另一個軌道的軌道機動，在某些情況下，消耗的ΔV（速度變化量，用以衡量一個航天器的機動能力）可能比霍曼轉移更少。

雙橢圓轉移的軌跡由兩個半橢圓組成。航天器在初始軌道的第一次加速會將航天器推進到第一個轉移軌道，該軌道的遠拱點（距離星球中心最遠的點）為 $r_{b}$ 。當航天器到達該點時，進行第二次加速，讓軌道的近拱點抬升到目標軌道。航天器到達近拱點後，開始減速（大氣減速或點火），降低遠拱點，最終到達目標軌道。^[1]

雖然這種轉移方法和霍曼轉移相比，需要更多的發動機點火次數，並且通常需要更長的時間，但是當最終軌道與初始軌道的半長軸長度之比大於等於 11.94 時，如果所選擇的中間軌道的遠點適當，則雙橢圓轉移需要的總ΔV比霍曼轉移要低。^[2]

雙橢圓轉移軌道的思路由阿里·斯滕菲爾德於1934年提出。^[3]

計算

ΔV

雙橢圓轉移的三次機動所需的速度變化量可以直接由活力公式得到：

v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),

其中

$v$ 為軌道物體（航天器）的速度，
$\mu =GM$ 為星體的標準重力參數，
$r$ 為軌道物體與星體的距離，即軌道半徑，
$a$ 為當前軌道的半長軸。

然後，定義

$r_{1}$ 為初始圓軌道的半徑，
$r_{2}$ 為最終圓軌道的半徑，
$r_{b}$ 為兩個橢圓轉移軌道的公共遠拱點半徑，是機動的自由參數，
$a_{1}$ 和 $a_{2}$ 是兩個橢圓轉移軌道的半長軸，由下式計算得出：
$a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}}$ ， $a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}$ 。

從半徑為 $r_{1}$ 的初始圓軌道開始（右圖中深藍色圓圈），切向加速（圖中標記 1）使航天器進入第一個橢圓轉移軌道（淺綠色半橢圓）。這次加速所需的ΔV的大小是

\Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}

。

第一個轉移軌道的遠拱點抵達之後（此時據星球中心距離為 $r_{b}$ ），第二次切向加速（標記 2）提升軌道的近拱點，使其與目標軌道的半徑相匹配，讓航天器進入第二個橢圓軌道（橙色半橢圓）。第二次切向加速所需的ΔV的大小為

\Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}

。

最後，航天器到達軌道近拱點（與星球中心距離為 $r_{2}$ ）後，切向減速（標記 3）圓化軌道，進入目標軌道（紅色圓圈）。最後的切向減速需要的ΔV的大小為

\Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}

。

如果 $r_{b}=r_{2}$ ，轉移將退化為霍曼轉移（在這種情況下 $\Delta v_{3}$ 為零）。因此，雙橢圓轉移是一類更一般的軌道轉移，霍曼轉移是一種僅需兩次機動的特殊情況。

從圓形低軌（深藍色）到圓形高軌（紅色）的雙拋物線轉移

可以通過假設 $r_{b}=\infty$ 來計算最多能節省多少 $\Delta v$ ，此時總 $\Delta v$ 為 ${\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)$ 。這種轉移也被稱為雙拋物線轉移，因為兩個轉移軌道不再是橢圓而是拋物線，轉移時間也增加到無窮大。

轉移時間

與霍曼轉移相同，雙橢圓轉移中使用的兩個轉移軌道恰好都是半橢圓。這意味着兩次轉移的所需時間都是整個橢圓轉移軌道周期的一半。

使用軌道周期方程和上面的符號定義，

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}

，

總轉移時間 $t$ 是兩個半橢圓軌道所需時間的總和，所以：

t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad

，

\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}\quad

，

\quad t=t_{1}+t_{2}

。

與霍曼轉移的比較

ΔV方面

霍曼轉移（粗黑色曲線）雙橢圓轉移（彩色曲線）所需的ΔV，橫軸為目標軌道和初始軌道半徑之比

圖中顯示了兩種轉移方法從半徑為 $r_{1}$ 的圓形軌道轉移到另一個半徑為 $r_{2}$ 的圓形軌道所需的總 $\Delta v$ 。縱軸為 $\Delta v/v_{1}$ ，即用 $v_{1}$ 歸一化 $\Delta v$ ；橫軸為為最終軌道和初始軌道的半徑之比， $R\equiv r_{2}/r_{1}$ 。這樣處理的目的是使各種轉移方式比較具有一般性（即不依賴於具體的 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $\Delta v$ 和 $v_{1}$ ，僅與它們的比率有關）。^[4]

粗黑曲線表示霍曼轉移的所需 $\Delta v$ ，而較細的彩色曲線對應於具有不同參數 $\alpha$ 的雙橢圓轉移，其中 $\alpha \equiv r_{b}/r_{1}$ ，為中間軌道遠點半徑 $r_{b}$ 和初始軌道的半徑之比，並在曲線旁邊標出。圖中突出了雙橢圓轉移的曲線第一次與霍曼轉移的曲線相交的區域。

可以看到，如果半徑之比 $R$ 小於 11.94，霍曼轉移更加有效率。另一方面，如果最終軌道的半徑比初始軌道的半徑大 15.58 倍以上，那麼任何雙橢圓轉移，無論其遠點半徑是多少，只要它大於最終軌道的半徑，就比霍曼轉移需要更少的 $\Delta v$ 。比值在 11.94 和 15.58 之間時，哪個轉移方式更好取決於遠點距離 $r_{b}$ 。對於在這個範圍內的 $R$ ，存在一個值， $r_{b}$ 高於它時雙橢圓轉移更加優越，低於它時霍曼轉移是更好的。下表列出每個情況下，有哪些 $\alpha \equiv r_{b}/r_{1}$ ，使雙橢圓轉移優於霍曼轉移。 ^[5]

使雙橢圓轉移需要更少 $\Delta v$ 的 $\alpha \equiv r_{b}/r_{1}$ 的下限 ^[6]
半徑比 ${\frac {r_{2}}{r_{1}}}$	最小的 $\alpha \equiv {\frac {r_{b}}{r_{1}}}$	註釋
<11.94	不適用	霍曼轉移更加有效
11.94	$\infty$	相當於雙拋物線轉移
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
>15.58	$>{\frac {r_{2}}{r_{1}}}$	任何雙橢圓轉移都更有效

轉移時間

雙橢圓轉移所需要的更長轉移時間 $t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}$ 是這種轉移方式的主要缺點。對於雙拋物線轉移的極限情況，所需時間甚至變為無窮大。

霍曼轉移花費的時間不到一半，因為它的轉移軌道只有一個半橢圓，更準確的計算為 $t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$ 。

組合機動的多功能性

雖然雙橢圓轉移在半徑之比有限制的情況下，比霍曼轉移更加節省ΔV，但節省的幅度相當小，雙橢圓轉移與一些其他的機動組合起來更加有優勢。

在遠點時，航天器的軌道速度較低，並可以以較小的ΔV成本實現近點的顯著變化。同時，也可以以較小的ΔV變化軌道傾角。在遠點將兩種操作組合起來，比先改變半徑再改變傾角的方式，顯着地節省ΔV。

同樣地，若想將軌道近點降入行星的大氣層，以進行大氣制動，減小速度，在遠點也只需很小的ΔV，但之後可以用大氣的「免費」阻力來降低遠點；儘管事後要增加一次額外的機動，將近點重新抬離大氣層，但在某些條件下，這樣的開銷可能遠低於簡單地用類似霍曼轉移的方式降低軌道半徑。

樣例

從半徑為r₀ = 6700 km的圓形近地軌道轉移到半徑為r₁ = 93 800 km的軌道，使用霍曼轉移需要的Δv為2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m/s。然而，因為r₁ = 14r₀ > 11.94r₀，所以使用雙橢圓轉移可以做得更好。如果航天器先在近地軌道將速度增加3061.04 m/s，讓遠地點變為r₂ = 40r₀ = 268 000 km，然後在遠地點將速度增加608.825 m/s，使近地點半徑變為r₁ = 93 800 km ，最後第二個轉移軌道的近地點將速度降低447.662 m/s以圓化軌道，那麼總的Δv將只有 4117.53 m/s，比霍曼轉移方案小了16.19 m/s (0.4%)。

可以通過增加中間軌道的遠地點來進一步增加Δv的節省量，但代價是轉移時間的進一步延長。當遠地點為75.8r₀ = 507 688 km （地月距離的 1.3 倍）時，雙橢圓轉移將比霍曼轉移節省 1%Δv，但需要 17 天的時間。當遠地點為1757r₀ = 11 770 000 km （到月球距離的 30 倍）時，雙橢圓轉移將比霍曼轉移節省2%的Δv，但轉移將需要 4.5 年（並且在轉移過程中會受到其他太陽系天體的引力影響，相當不切實際）。相比之下，霍曼轉移只需要 15 小時 34 分鐘。

多種軌道轉移方式的Δv
類型		霍曼轉移	雙橢圓轉移
遠地點 (km)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
速度改變量 (m/s)	1	▲ 2825.02	▲ 3061.04	▲ 3123.62	▲ 3191.79	▲ 3194.89
	2	▲ 1308.70	▲ 608.825	▲ 351.836	▲ 16.9336	━ 0
	3	━ 0	▼ 447.662	▼ 616.926	▼ 842.322	▼ 853.870
總和(m/s)		4133.72	4117.53	4092.38	4051.04	4048.76
與霍曼轉移比較		100%	99.6%	99.0%	98.0%	97.94%

▲ Δv 表示切向加速
▼ Δv 表示切向減速

顯然，雙橢圓軌道在第一次加速中花費了更多的Δv。這對軌道能量產生了更高的影響，即奧伯特效應，導致了所需Δv的減少。

參見

參考文獻

^ Curtis, Howard. Orbital Mechanics for Engineering Students. Elsevier. 2005: 264 [2021-10-02]. ISBN 0-7506-6169-0. （原始內容存檔於2022-04-07）.
^ Vallado, David Anthony. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer. 2001: 318 [2021-10-02]. ISBN 0-7923-6903-3. （原始內容存檔於2020-07-10）.
^ Sternfeld, Ary J.（原文如此）, Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée [On the allowed trajectories for approaching a central attractive body from a given Keplerian orbit], Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris), 1934-02-12, 198 (1): 711–713 [2021-10-02], （原始內容存檔於2020-09-25）（法語） .
^ Vallado, David Anthony. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer. 2001: 318 [2021-10-02]. ISBN 0-7923-6903-3. （原始內容存檔於2020-07-10）.
^ Gobetz, F. W.; Doll, J. R. A Survey of Impulsive Trajectories. AIAA Journal (American Institute of Aeronautics and Astronautics). May 1969, 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ...7..801D. doi:10.2514/3.5231.
^ Escobal, Pedro R. Methods of Astrodynamics. New York: John Wiley & Sons. 1968. ISBN 978-0-471-24528-5.

[Curtis-1] Curtis, Howard. Orbital Mechanics for Engineering Students. Elsevier. 2005: 264 [2021-10-02]. ISBN 0-7506-6169-0. （原始內容存檔於2022-04-07）.

[2] Vallado, David Anthony. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer. 2001: 318 [2021-10-02]. ISBN 0-7923-6903-3. （原始內容存檔於2020-07-10）.

[sternfeld1934-3] Sternfeld, Ary J.（原文如此）, Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée [On the allowed trajectories for approaching a central attractive body from a given Keplerian orbit], Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris), 1934-02-12, 198 (1): 711–713 [2021-10-02], （原始內容存檔於2020-09-25）（法語） .

[Vallado-4] Vallado, David Anthony. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer. 2001: 318 [2021-10-02]. ISBN 0-7923-6903-3. （原始內容存檔於2020-07-10）.

[5] Gobetz, F. W.; Doll, J. R. A Survey of Impulsive Trajectories. AIAA Journal (American Institute of Aeronautics and Astronautics). May 1969, 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ...7..801D. doi:10.2514/3.5231.

[6] Escobal, Pedro R. Methods of Astrodynamics. New York: John Wiley & Sons. 1968. ISBN 978-0-471-24528-5.

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